Fases geométricas en sistemas mecánicos - Departamento de ...

Observación 2.2.9. (No integrabilidad) En general, como lo observamos anteriormente, la
dependencia temporal explícita en las ecuaciones del cuerpo auto-deformante implican que la
energía no se conserva y, por ende, que no podemos reducir más (que 2) la dimensionalidad
del problema. Contrastar con el caso particular de un cuerpo rígido [16].
Libertad de gauge
Por definición, contamos con una curva d0(t) en el espacio de configuraciones Q0
pero, tal vez, queramos trabajar con otra curva ˜ d0(t) que defina un problema de cuerpo
auto-deformante equivalente: π( ˜ d0(t)) = π(d0(t)) = ˜c(t) ∈ Q0/SO(3). El paso de d0(t) a
˜d0(t) significa describir el mismo cuerpo desde un nuevo sistema de referencia S(t). Éste
posse el mismo orígen coordenado y rota, de manera conocida, con respecto al inicial ˜ S(t)
desde el cual el movimiento d0(t) era originalmente dado.
Observación 2.2.10. (Transformaciones de gauge) Esta libertad en la elección de la curva
d0(t), que describe la deformación prefijada, puede ser vista como una libertad de gauge
(o de calibre). Por consiguiente, el pasaje d0(t) ˜ d0(t) puede ser pensado como una
transformación de gauge. El lector interesado en esta analogía puede referirse a [20], [24] y
a las referencias que allí se encuentran.
dos:
De entre todos los levantamientos posibles d0(t) de un dado ˜c(t), destacaremos
a) el levantamiento horizontal con respecto a la conexión mecánica en el fibrado Q0 −→
Q0/SO(3). Encontrar dicho levantamiento equivale al problema de encontrar un ˜ d0(t)
que cumpla que L( d
dt ˜ d0(t)) = 0 ∀t (ver también la obs. 2.2.11).
b) un levantamiento ˜ d0(t) para el cual el tensor de inercia I( ˜ d0(t)) sea diagonal a todo
t. Encontrar una tal curva involucra encontrar un levantamiento de la curva base
I(d0(t)) a lo largo del mapeo
A × SO(3) → S 3×3
>0
(a, R) ↦−→ RaR −1
siendo A := {matrices diagonales de 3 × 3 definidas positivas}.
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