Fases geométricas en sistemas mecánicos - Departamento de ...

Algunos de los grados de libertad están siendo controlados: la evolución del
sistema c(t) yace en una variedad Q y, además, todo punto de la trayectoria tiene un
entorno coordenado, con coordenadas {bl, gk}, l = 1...KB y k = 1...(dimQ − KB), en
el que
c(t) ≡ {b 0 l (t), gk(t)},
siendo b0 l (t) funciones dadas y conocidas a priori del tiempo.
La idea que subyace a este tipo de vínculos es la de que KB de los grados de libertad
del sistema, una vez restringido a Q, están siendo controlados de alguna manera tal que
nos permite conocer el resultado cinemático de dicho control. El problema de encontrar la
evolución completa de este sistema se reduce, entonces, al de encontrar la dinámica de las
restantes variables gk(t).
En el espíritu de la sección anterior, desearíamos poder plantear completamente el
problema sin necesidad de conocer cuantitativamente la mecánica de las fuerzas de vínculo
(o control) que están implementando la parte conocida del movimiento. En otras palabras,
deberemos incluir una hipótesis dinámica, análoga a la de D’Alambert, que complete la
anterior información cinemática, a fin de trabajar con un problema bien planteado.
En los capítulos siguientes, asumiremos que Q tiene una estructura geométrica
particular (la de fibrado G−principal) y que tanto la descomposición en grados de libertad
controlados y no-controlados, como la geometría de las fuerzas de control, son compatibles
con ella. Esto nos permitirá plantear completa y geométricamente el problema de encontrar
los restantes gk(t) y, de este modo, el de encontrar la dinámica total del sistema bajo estudio.
Es más, seremos capaces de caracterizar genéricamente las soluciones de un tal sistema al
deducir fórmulas de fases de reconstrucción para los gk(t).
1.2 Mecánica Lagrangiana
Recordemos, en primer lugar, que si Q es una variedad diferencial de dimensión n,
un sistema de coordenadas (q i ) definido en un entorno coordenado U de Q induce una base
en cada espacio tangente TqQ para cada q ∈ U. Esta base está formada por los vectores ∂
∂q i
tangentes a las curvas coordenadas.
Denotamos al fibrado tangente T Q, que es una variedad diferencial de dimensión
2n y tiene coordenadas (q i , v i ) sobre entornos coordenados de la forma TUQ :=
q∈U TqQ,
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