Fases geométricas en sistemas mecánicos - Departamento de ...

sec. 2.2.1). Esta holonomía es usualmente conocida como la fase geométrica (no-abeliana).
Finalmente, bajo estas hipótesis, la correspondiente fórmula de reconstrucción es
c(t2) = RD(t2) RG(t1) c(t1)
en donde RD(t2) es llamada fase dinámica (no-abeliana).
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Ésta fase se obtiene resolviendo
la ecuación (2.5) con el valor inicial RD(t1) = Id y con la mencionada elección horizontal
de d0(t), i.e. con L( ˙
d0) = 0. Sobre los detalles del proceso de reconstrucción general,
referimos a [15]. El lector interesado en los detalles correspondientes al movimiento de
cuerpos deformables con momento angular nulo puede encontrarlos en [24]. El estudio de
las fases asociadas al sistema de 3 partículas (puntuales) puede encontrarse en [21].
Reconstruyedo R(t) a partir de Π(t) en el fibrado SO(3) −→ S 2 Π :
Recordemos que, en general, la rotación buscada R(t) en la ecuación (2.2) puede
ser reconstruida por medio de (2.10) una vez que hayamos resuelto la ecuación (2.9) en la
esfera. Una situación especialmente interesante se da cuando esta solución Π(t) es cerrada
para el intervalo [t1, t2] :
Π(t1) = Π(t2).
En este caso, existe un ángulo θM, unívocamente determinado por la solución Π y la
condición inicial R(t1), tal que
implicando que
R(t2) = exp(θM
c(t2) = [exp(θM
ˆL
) R(t1),
L
ˆL
L ) R(t1)] d0(t2)
con ˆ L = Ψ −1 (L) ∈ so(3). Notemos que θM define una fase de reconstrucción abeliana
que hace su aparición al reconstruir R(t) a partir de Π(t) en el fibrado U(1)−principal
SO(3) −→ S 2 Π
que describiremos en la sección siguiente.
Observación 2.3.1. (Interpretación de θM) Recordemos que R(t) es la rotación que trans-
forma el sistema de referencia CM(t) en el CM(t). Esto implica que, en el instante t2
descripto más arriba, la orientación del cuerpo, vista desde CM(t), puede obtenerse, ex-
actamente, rotando, en un angulo θM, la configuración conocida d0(t2) alrededor de la
dirección (constante) del momento angular LCM. De modo que esta fase θM caracteriza
completamente la posición espacial del cuerpo bajo estudio en dichos instantes t2.