Exámenes resueltos.

AMPLIACIÓN DE CÁLCULO (Curso 2002/2003) Examen Final de Junio 23.06.03
Solución del
PROBLEMA 1
(4 puntos)
Sean φ : R 3 → R un campo escalar de clase C 2 y Ω ⊂ R 3 un sólido limitado por una superficie S
regular y orientada según la normal saliente n.
Se pide:
1) Calcular div (φ grad φ).
2) Aplicando el teorema de Gauss, transformar la integral de superficie
S
φ ∂φ
∂n dσ
en una integral triple extendida a Ω. (Se recuerda que ∂φ
∂n
= grad φ · n).
3) Determinar la expresión en Ω de todos los campos vectoriales F : R 3 → R 3 , F ∈ C 1 , que sean
irrotacionales, solenoidales y con componente normal sobre S igual a cero en todos los puntos.
4) Sea S una superficie regular orientable que encierra un volumen acotado Ω ⊂ R 3 ¿Queda unívocamente
determinado en Ω un campo vectorial G : R 3 → R 3 , G ∈ C 1 , si se conocen rot G y div G
en R 3 y la componente normal de G sobre todos los puntos de S? Razonar la respuesta.
Respuesta:
1) Utilizando las definiciones de gradiente de un campo escalar y de divergencia de un campo vectorial,
se tiene:
div (φ grad φ) = ∂
φ
∂x
∂φ
+
∂x
∂
φ
∂y
∂φ
+
∂y
∂
φ
∂z
∂φ
∂z
∂φ ∂φ
=
+ φ
∂x ∂x
∂2
φ ∂φ ∂φ
+
+ φ
∂x2 ∂y ∂y
∂2
φ ∂φ ∂φ
+
∂y2 ∂z ∂z
2 2 2 2 ∂φ ∂φ ∂φ ∂ φ
= + + + φ
∂x ∂y ∂z ∂x2 + ∂2φ ∂y2 + ∂2φ ∂z2
= grad φ 2 + φ ∆ φ ,
donde . representa la norma dos y ∆ es el operador laplaciano.
+ φ ∂2 φ
∂z 2
2) En las condiciones establecidas en el enunciado es posible aplicar el teorema de Gauss a la integral
de superficie dada. Para ello basta tener en cuenta que
S
φ ∂φ
dσ =
∂n
S
φ grad φ · n dσ .
La aplicación del teorema de Gauss a esta integral da lugar a la igualdad
φ ∂φ
dσ =
∂n
div [φ grad φ] dV .
S
Ω