Exámenes resueltos.

de donde se concluye que el flujo de F solo depende del borde orientado considerado y no de la
superficie que se considere (con ese borde).
Para calcular el flujo pedido, basta entonces considerar una superficie cualquiera con el borde
descrito en el enunciado que es la circunferencia x2 + z2 = 1/4 situada en el plano y = √ 3/2.
Por sencillez, elegimos el círculo C := {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + z2 ≤ 1/4 , y = √ 3/2}, que se puede
parametrizar mediante γ = (x(r, θ), y(r, θ), z(r, θ)) con:
√
3
x(r, θ) = r cos θ , y(r, θ) = , z(r, θ) = r sin θ (r ∈ (0, 1/2) , θ ∈ (−π, π)) ,
2
con lo que las dos posibilidades para el vector normal a C son: (0, ±r, 0), que van a dar lugar a dos
posibles valores que puede tomar el flujo pedido (siempre que sea distinto de cero).
Calculamos pues los dos valores posibles del flujo de F a través de C que se corresponden con las
dos orientaciones posibles ((0, r, 0) (C + ) y (0, −r, 0) (C− )) de su vector normal.
C +
F dσ =
=
1/2
0
√ 3
2
π
−π
1/2
0
2 2 3
2 z(r, θ) x(r, θ) , z(r, θ) y , − z(r, θ) · ⎝
π
−π
r 3 sin 2 θ dr dθ =
y, por tanto, el otro valor que puede tomar el flujo es −
√ 3 π
128 ,
√ 3 π
128 .
⎛
0
r
0
⎞
⎠ dr dθ
ALTERNATIVA: Para calcular los valores posibles del flujo se puede utilizar el teorema de
Stokes en la forma antes mencionada, lo que exige la obtención de un potencial vector de F, que
siempre se puede elegir de la forma G(x, y, z) = (G1(x, y, z), G2(x, y, z), 0). Para calcularlo se identifican
componentes en la igualdad F = ∇×G, de lo que resulta el sistema de ecuaciones en derivadas
parciales siguiente:
− ∂G2
∂z = 2z2 x ,
∂G1
∂z = z2 y
∂G2
∂x
− ∂G1
∂y = −z3 ,
de cuya resolución se obtiene: G1(x, y, z) = − 2
3z3y + M(x, y), G2(x, y, z) = 1
3z3x + N(x, y), donde
M(x, y) y N(x, y) son funciones arbitrarias que deben satisfacer la condición ∂M ∂N
− = 0, que
∂x ∂y
se cumple si se elige M = N = 0.
Así pues, un potencial vector de F es G = − 2
3z3y , 1
3z3x , 0 y el flujo pedido vendrá dado por:
π
F dσ = G ds = −
Σ
Γ
−π
2
3 z(θ)3y(θ) , 1
3 z(θ)3 ⎛
⎞
−(1/2) sin θ
x(θ) , 0 · ⎝ 0 ⎠ dθ
(1/2) cos θ
√ π
3
= sin
48
4 √
3 π
θ dθ =
128 ,
−π
donde Γ es la circunferencia x 2 +z 2 = 1/4 situada en el plano y = √ 3/2 para la que se ha considerado
la parametrizacíon x(θ) = (1/2) cos(θ), y(θ) = √ 3/2, z(θ) = (1/2) sin(θ) (θ ∈ (−π, π)).
El otro valor posible, − √ 3 π/128, se obtiene recorriendo la circunferencia en sentido contrario al
considerado en el cálculo anterior.
1 punto.