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para la cual ∂Φ ∂φ × ∂Φ ∂θ Σ1 = senφ luego 2π r · nds = dθ r4 0 π/4 π/4 senφdφ = 2π senφdφ = π(2 − √ 2) 0 B.2. En Σ2 los vectores normales a la superficie son perpendiculares al campo r r 4 (nótese que es un campo central) con lo que B.3. En Σ3, n =(0, 0, −1) luego r · nds = − r4 y ahora, parametrizando Σ3 en la forma se tiene, al ser ∂Φ Σ3 ∂φ × ∂Φ ∂θ = 1, Σ3 r · nds = − r4 Σ2 = − 1 2 1/2 = − 0 Por ello, se tiene finalmente Σ2 r · nds = 0 r4 0 z Σ2 (x2 + y2 + z2 ) x = x ; y = y ; z = 1 2 ; x2 + y 2 ≤ 1 4 J = − z (x 2 + y 2 + z 2 ) x 2 +y 2 ≤ 1 4 ρ ρ 2 + 1 4 2 ds = − x 2 +y 2 ≤ 1 4 1 x2 + y2 1 2 dxdy = − + 4 1 2 2 dρ = −π con lo que se compueba que, efectivamente, I = J. 2 ds 1 2 x2 + y2 1 2 dxdy = + 2π π(2 − √ 2) + 0 − π = π( √ 2 − 1) 0 dθ 4 1/2 0 ρ ρ2 1 2 dρ = + 4
AMPLIACIÓN DE CÁLCULO (Curso 2001/2002) Examen Final de Septiembre 9.9.02 Solución del PROBLEMA 1 (4 puntos) Sea f : (0, ∞) → R una función de clase uno, sea a ∈R 3 un vector fijo no nulo y sea el campo F :R 3 \ {0} → R 3 definido por F(r) =f(r) a × r donde r = xi + yj + zk y r = x 2 + y 2 + z 2 . Se pide: a) Calcular la divergencia del campo F y simplificar el resultado. b) Sea Γ la curva definida por las ecuaciones Calcular x 2 + y 2 + z 2 = 1 I = Γ x − z = 0 a × r dr r2 donde la orientación de Γ es tal que su proyección sobre el plano xy está orientada en sentido contrario a las agujas del reloj. c) Se considera el tetraedro T de vértices A ≡ (0, 0, 1/2), B ≡ (0, 1, 0), C ≡ (1, 0, 0) y V ≡ (1, 1, 1). Calcular la integral J = r 2 (a × r) dσ Σ siendo a = (1, −1, 0) y Σ la superficie formada por las tres caras de T que pasan por el punto V , orientada según la normal saliente a T . Respuesta: a) En primer lugar calculamos a × r = (a2z − a3y, a3x − a1z, a1y − a2x) y ahora, utilizando que si U es un campo escalar y V un campo vectorial se cumple div (UV) = grad U · V + Udiv V, se tiene pues: div (f(r)a × r) = grad (f(r)) · (a × r) + f(r) div (a × r) = = f ′ (r) gradr · (a × r) + f(r) div (a × r) = = f ′ (r) r · (a × r) + f(r) div (a × r) = 0 r - gradr = r r - div (a × r) = 0 al ser su componente i-ésima independiente de la i-ésima variable, i = 1, 2, 3. - el producto mixto r · (a × r) es nulo al ser los vectores linealmente dependientes. Por ello, para cualquier f el campo F es solenoidal en su dominio de definición. b) Se puede proceder de dos formas:
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Por tanto, xD = Ix Área = πa√2
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3) Un enunciado del teorema de Stok
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y ∞ 1 La integral γ converge ab
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2. Parametrizamos la superficie Σ
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F (a0) converge para algún valor a
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son, por definición, las siguiente
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lo que desaconseja utilizar este pr
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A continuación se detallan tres po
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Por (a) Ap diverge si p ≤ 0. Adem
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e integrando: Σ1 F = = t2 2 −
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Se tiene de donde ya que Por otra p
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de modo que x = 0 ⇒ t = − π 2
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Nota 1. El cálculo de x0, que no s
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Para ello existen varias alternativ
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= C [0,2π]×[0, √ 3] 3 − z(r
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2. La superficie Σ está contenida
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(5) Obtenemos fácilmente resulta
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Apdo. 1. La densidad es ρ(x, y, z)
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Parametrización de Γ2: Ya hemos o
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Obsérvese que aunque H es solenoid
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donde se ha usado que Π es un cír
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