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es decir, aX + bY + 2zZ − (ax + by + 2z 2 ) = 0 que, utilizando que (x, y, z) ∈ ˆ Σ y que por ello ax + by + z 2 = 1, se puede escribir La distancia de Π al origen es aX + bY + 2zZ − (1 + z 2 ) = 0 |a0 + b0 + 2z0 − (1 + z 2 )| √ a 2 + b 2 + 4z 2 = 1 + z 2 √ a 2 + b 2 + 4z 2 y por ello la densidad superficial de carga q(x, y, z) definida en Σ es Por tanto q(x, y, z) = K2 1 + z 2 √ a 2 + b 2 + 4z 2 Q = 8 ˆ 1 + z Q = 8 q(x, y, z)dσ = 8K2 ˆΣ ˆΣ 2 √ a2 + b2 + 4z2 dσ Para parametrizar ˆ Σ, la mejor opción es expresar la superficie mediante una ecuación cartesiana explícita. Además, y puesto que g(x, y, z) es cuadrática en z pero lineal en x e y, es conveniente despejar o bien x o bien y como función de las otras variables. Por la simetría del problema en x e y ambas opciones son equivalentes en cuanto a dificultad. Así por ejemplo expresamos x = h(y, z) = 1 a (1 − by − z2 ), (y, z) ∈ B donde B es la proyección de ˆ Σ sobre el plano yz, es decir, B = (y, z) : 0 ≤ z ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 b (1 − z2 ) . Puesto que ∂h ∂y Q = 8K2 = 8K2 = 8K2 a = 8K2 ab = b a y ∂h ∂z −2z = se tiene a 1 + b2 4z2 + dydz = a2 a2 (1 + z a B 2 )dydz = 1 + z ˆΣ 2 1 + z √ dσ = 8K2 a2 + b2 + 4z2 B 2 √ a2 + b2 + 4z2 1 + z B 2 1√ 8 √ a2 + b2 + 4z2dydz = a2 + b2 + 4z2 a 1 (1 + z 0 2 1 b ) (1−z2 ) dy dz = 0 8K2 1 (1 + z ab 0 2 )(1 − z 2 )dz = 1 0 (1 − z 4 )dz = 32K2 5ab Si, a pesar de que no es la mejor opción, se parametriza ˆ Σ despejando z en función de x y de y, en la forma z = β(x, y) = √ 1 − ax − by, (x, y) ∈ D = {(x, y) : ax + by ≤ 1, x, y ≥ 0} se puede proceder como sigue. Puesto que ∂β ∂x = −a 2 √ 1 − ax − by ; ∂β ∂y = −b 2 √ 1 − ax − by entonces, usando que, en D, |1 − ax − by| = 1 − ax − by : 1 + z Q = 8K2 ˆΣ 2 √ dσ = a2 + b2 + 4z2 1 + (1 − ax − by) = 8K2 D a2 + b2 a 1 + + 4(1 − ax − by) 2 4(1 − ax − by) + b2 4(1 − ax − by) dxdy 1 + (1 − ax − by) 1 = 8K2 D 2 = 4K2 a2 + b2 + 4(1 − ax − by) = 4K2 D D a2 + b2 + 4(1 − ax − by) √ dxdy = 1 − ax − by 1 + (1 − ax − by) √ 1 − ax − by dxdy = dxdy √ 1 − ax − by + 4K2 D 1 − ax − bydxdy
Calculemos I := D (1 − ax − by)−1/2dxdy aplicando el teorema de Fubini, integrando primero respecto de y y luego respecto de x: I : = = Análogamente Por tanto (1 − ax − by) −1/2 dxdy = 1/a D 0 1/a 2 0 b (1 − ax − by)1/2 | y=0 y= 1 b (1−ax) = 2 2 b 3a (1 − ax)3/2 | x=0 x= 1 = a 4 3ab J : = = (1 − ax − by) 1/2 dxdy = 1/a D 0 1/a 2 0 3b (1 − ax − by)3/2 | y=0 y= 1 b (1−ax) = 2 2 3b 5a (1 − ax)5/2 | x=0 x= 1 = a 4 15ab Q = 4K2 (I + J) = 4K2 1 b (1−ax) 0 dx = 2 b 1/a 0 1 b (1−ax) 0 dx = 2 3b (1 − ax − by) −1/2 dy (1 − ax) 1/2 dx = (1 − ax − by) 1/2 dy 1/a 4 4 + = 3ab 15ab 32K2 5ab 0 (1 − ax) 3/2 dx = dx = dx =
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A continuación se detallan tres po
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Por (a) Ap diverge si p ≤ 0. Adem
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e integrando: Σ1 F = = t2 2 −
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Se tiene de donde ya que Por otra p
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de modo que x = 0 ⇒ t = − π 2
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Nota 1. El cálculo de x0, que no s
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Para ello existen varias alternativ
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= C [0,2π]×[0, √ 3] 3 − z(r
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2. La superficie Σ está contenida
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(5) Obtenemos fácilmente resulta
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Apdo. 1. La densidad es ρ(x, y, z)
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y por tanto φ = Σ2 yds = T 1
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Parametrización de Γ2: Ya hemos o
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y, como lím e k→∞ −k2 = 0, l
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Obsérvese que aunque H es solenoid
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donde se ha usado que Π es un cír
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