Exámenes resueltos.

Integremos ∂R/∂x y ∂Q/∂x en la variable x:
Y ahora impongamos la primera relación:
∂R
∂y
∂R
= 4y ⇒ R(x, y) = 4xy + r(y),
∂x
∂Q
= 2z ⇒ Q(x, z) = 2xz + q(z).
∂x
− ∂Q
∂z = 2x ⇒ 4x + r′ (y) − 2x − q ′ (z) = 2x ⇐⇒ r ′ (y) − q ′ (z) = 0 ⇐⇒ r ′ = q ′ = cte
Si el valor de la constante es a se tiene r(y) = ay + b y q(z) = az + c con a, b, c constantes
que podemos elegir arbitrariamente, en particular un potencial vector de ∇f es G(x, y, z) =
2xzj + 4xyk.
2.2 (1 punto) Si F es de clase 2, tenemos que imponer que P también sea de clase 2, esto nos
permitirá integrar las ecuaciones en derivadas parciales que surjan, asimismo nos garantiza la
igualdad de las derivadas parciales cruzadas de segundo orden.
Tenemos que imponer que rot rot F se anule en R 3 ; ahora bien, como G(x, y, z) = Q(x, z)j +
R(x, y)k es un potencial vector de un gradiente (rot G = ∇f), se cumple rot rot G = 0, además
el rotacional es un operador lineal:
rot F = rot(P i) + rot G = rot(P i) + ∇f,
por lo que basta con calcular los campos P para los cuales rot rot(P i) = 0. Calculemos, en
primer lugar, rot(P i):
i j k
∂ ∂ ∂
rot(P i) =
=
∂x ∂y ∂z
P (x, y, z) 0 0
∂P ∂P
j −
∂z ∂y k
y ahora rot rot(P i) e igualemos a cero:
∂P ∂P
rot j −
∂z ∂y k
=
i
∂
∂x
0
j
∂
∂y
∂P
∂z
k
∂
∂z
−∂P
∂y
2
∂ P
= −
∂y
2 + ∂2P ∂z2
i + ∂2P ∂x∂y j + ∂2P k = 0.
∂x∂z
De ∂ 2 P/∂x∂y = 0 se deduce que ∂P/∂x no es función de y, existirá una función H1 de dos
variables de forma que ∂P/∂x = H1(x, z). Derivamos respecto de z:
∂ 2 P
∂x∂z
Integremos ∂P/∂x = H2(x) en la variable x,
= ∂H1
∂z = 0 ⇒ H1(x, z) = H2(x).
P (x, y, z) = h(x) + C(y, z)
donde h es una primitiva de H2 y C es arbitraria. Por último, al imponer la nulidad de la primera
componente del doble rotacional: ∂ 2 P /∂y 2 + ∂ 2 P /∂z 2 = 0 se concluye que el laplaciano de C
es nulo, así pues las funciones P buscadas son
P (x, y, z) = h(x) + C(y, z), h ∈ C 2 (R), C ∈ C 2 (R 2 ), ∆C = 0.
Gabriela Sansigre.