Exámenes resueltos.

donde el primer límite se calcula aplicando dos veces la regla de L’Hopital y el segundo es
inmediato.
Así pues, la parte principal de la serie de Laurent de f convergente en un disco perforado de
centro el punto z = 0 es:
1 + 3π 4 + 9π
− −
3α z2 9α2 z .
(b) El punto z = α es un polo simple ya que se cumple:
lím (z − α) f(z) =
z→α sen(πα)
α3 = 0 (por hipótesis) ,
donde el límite es inmediato. Por lo tanto, en este caso, la serie de Laurent de f que converge
en un disco perforado de centro el punto z = α tiene la forma:
f(z) = b−1
z − α +
∞
bn (z − α) n .
Hay que determinar el coeficiente b−1 que es, por definición, el residuo de f en el polo simple
z = α y, por tanto, coincide con el límite que se acaba de calcular; es decir:
n=0
b−1 = Res[f, z = α] = lím (z − α) f(z) =
z→α sen(πα)
α3 .
Así pues, la parte principal de la serie de Laurent de f convergente en un disco perforado de
centro el punto z = α es:
sen(πα)
α 3 (z − α) .
1.2) Se trata de calcular la integral de f a lo largo de una curva cerrada ya que la intersección
de los dos dominios dados (el limitado por la elipse de focos z = 0 y z = α y el limitado por la
circunferencia de centro z = 0 y radio |α|/2) siempre tienen una intersección no vacía. Se puede, por
tanto, aplicar el teorema de los residuos de Cauchy, según el cual:
f(z)dz = 2π i
n(Γ, zk) Res[f, z = zk] ,
Γ
k
donde la suma se extiende a los puntos singulares zk de f contenidos en el dominio limitado por
la curva Γ y n(Γ, zk) es el índice de Γ con respecto a zk, del que se sabe que es un número entero
positivo, pues la curva se recorre en sentido positivo.
En estas condiciones, es necesario determinar todos los puntos singulares de f que son los dos
considerados anteriormente, es decir, el polo doble z = 0 y el polo simple z = α y, además, z = 3α/4
que es un cero simple de p ′ (z) y puede ser una singularidad evitable de f (si cos(3απ/4) = 0) o un
polo simple de f (si cos(3απ/4) = 0), ya que se cumple:
lím
z→3α/4
(z − 3α
4
4 cos(3πα/4)
) f(z) =
9α2 .
Falta por decidir qué puntos singulares pertenecen al dominio acotado limitado por Γ que serán
aquellos que cumplan simultáneamente las dos desigualdades que definen los dos dominios dados. Es
sencillo comprobar que el único punto que las verifica es z = 0, pues z = α y z = 3α/4 no pertenecen
al disco de centro z = 0 y radio |α|/2. Por tanto:
Γ
f(z)dz = 2π i n(Γ, z = 0) Res[f, z = 0] , = − 2πi
4 + 9π
n(Γ, z = 0) .
9α2