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siendo Ω el volumen limitado por la superficie cerrada S. Finalmente, teniendo en cuenta el resultado obtenido en el apartado anterior, se obtiene la igualdad: φ ∂φ dσ = grad φ ∂n 2 dV + φ ∆ φ dV . S Ω 3) Que el campo F sea irrotacional en R 3 (que es un dominio estrellado) significa que es el gradiente de un potencial escalar. Es decir, existe un campo escalar φ : R 3 → R tal que F = grad φ (en R 3 ) . Además, F es solenoidal (es decir, tiene divergencia nula), por lo tanto: div (F) = div (grad φ) = ∆ φ = 0 (en R 3 ) , donde ∆ vuelve a representar el operador laplaciano. Podemos concluir, por tanto, que todo campo irrotacional y solenoidal en R3 es el gradiente de un campo escalar armónico (que satisface la ecuación de Laplace ∆ φ = 0 en R3 ). Por otra parte, puesto que F = grad φ, su componente normal sobre la superficie cerrada S viene dada por grad φ · n = (∂φ/∂n), siendo n un vector dirigido según la normal saliente a S en cada punto. Ahora bien, esta componente normal es cero y, en consecuencia, la integral de superficie S φ F · n dσ = S φ ∂φ ∂n dσ debe también anularse. El resultado final obtenido en el apartado 2) anterior nos permite entonces concluir que φ ∂φ dσ = grad φ ∂n 2 dV + φ ∆ φ dV = 0 . S Ω De aquí, teniendo en cuenta que (como se acaba de demostrar) φ es un campo escalar armónico (∆φ = 0), resulta Ω grad φ 2 dV = 0 y como grad φ 2 es una función continua no negativa, obtenemos finalmente grad φ = 0 en Ω ⇐⇒ F = grad φ = 0 en Ω . Así pues, el único campo vectorial que satisface todas las condiciones establecidas en este tercer apartado es el campo nulo en Ω, que deriva de un potencial escalar constante. 4) Se trata de determinar si en el volumen Ω limitado por la superficie cerrada S, el conocimiento del rotacional y la divergencia de un campo vectorial G, junto con los valores de su componente normal sobre S, determina dicho campo de forma única. Para ello supongamos que existe otro campo vectorial H tal que su rotacional, su divergencia y los valores de su componente normal sobre S, coinciden con los de G. En estas condiciones, la diferencia entre ambos campos vectoriales, F = G − H, es a su vez un campo vectorial con las siguientes propiedades: rotF = rotG − rotH = 0, divF = divG − divH = 0 . Además, la componente normal de F sobre S es también nula. Según se ha aprobado en el apartado anterior, el único campo en Ω que cumple estas condiciones es el idénticamente nulo. Es decir , G y H tienen que ser iguales, de lo que concluimos que, en efecto, las condiciones dadas sobre G en este apartado 4) lo determinan unívocamente en Ω. Ω Ω
AMPLIACIÓN DE CÁLCULO (Curso 2002/2003) Examen Final de Junio 23.06.03 Solución del PROBLEMA 2 (3 puntos) Se considera el astroide de ecuación cartesiana: Se pide: 1) Calcular su longitud. 2) Calcular el área que encierra. x 2/3 + y 2/3 = a 2/3 , (a > 0). Respuesta: 1) La curva Γ en cuestión es cerrada y presenta simetría respecto de los dos ejes de coordenadas. Su aspecto es el que muestra la figura. Para calcular la longitud de la curva se debe encontrar una parametrización de la misma. Para ello, se puede utilizar el hecho de que sen 2 t + cos 2 t = 1, obteniendo así la parametrización r(t) = (x(t), y(t)) dada por Se tiene entonces L = 2π = 3a = 3a 0 2π r ′ (t) dt = 0 2π 0 x = acos 3 t y = asen 3 t, t ∈ [0, 2π] 2π 0 2π x ′ (t) 2 + y ′ (t) 2dt = 3a 0 2π sen 2 t cos 2 t(sen 2 t + cos 2 t)dt = 3a π 2 |sent| |cos t| dt = 12a 0 0 √ sen 2 t cos 4 t + sen 4 t cos 2 tdt = √ sen 2 t cos 2 tdt = sent cos tdt = 6asen 2 t | π 2 0 = 6a donde en la antepenúltima igualdad se ha utilizado la periodicidad de la función |sent| |cos t| (nótese que si se comete el error de escribir que √ sen2t cos2 t es igual a sent cos t, se obtiene que la longitud es nula, lo cual, evidentemente, no tiene sentido). 2) La parametrización anterior puede utilizarse para el cálculo del área mediante una integración curvilínea haciendo uso de la siguiente expresión A = 1 2 = 1 2 = 3 2 a2 xdy − ydx = Γ 1 2π [x(t)y 2 0 ′ (t) − y(t)x ′ (t)] dt = 2π [x(t)y 0 ′ (t) − y(t)x ′ (t)] dt = 3 2 a2 2π 0 2π sen 2 t cos 2 tdt = 6a 2 π 2 sen 2 t cos 2 2 1 tdt = 6a 0 0 sen 2 t cos 4 t + sen 4 t cos 2 t dt = 2 β(3 2 3 3 , ) = · · · = 2 8 πa2 Nótese que a debe tener dimensiones de longitud para que x e y representen una posición. Se comprueba que los resultados obtenidos son dimensionalmente correctos, puesto que L y A tienen dimensiones de longitud y área respectivamente.
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