Exámenes resueltos.

Calculemos, por tanto, dicha integral curvilínea, parametrizando Γ. Esta curva es unión de tres
arcos, obtenidos por la intersección del triángulo esférico x 2 + y 2 + z 2 = 1 (x, y, z ≥ 0) con cada uno
de los tres planos coordenados. Por tanto, consta de:
⎧
⎨
⎩
Γ1 (t) = (cos(t), sen (t), 0) t ∈ [0, π/2] en el plano z = 0,
Γ2 (t) = (0, cos(t), sen (t)) t ∈ [0, π/2] en el plano x = 0,
Γ3 (t) = (sen (t) , 0, cos(t)) t ∈ [0, π/2] en el plano y = 0.
Por otro lado, escogemos la forma más sencilla del potencial vector F ya calculado tomando, por
ejemplo, las funciones h y m nulas. Además, obsérvese que, para f (x) = x + a, se tiene que
La integral curvilínea
Γ1
Γ2
Γ3
Γ
F(x, y, z)= 1 2 2 1 2
xz − y (x + a) i − yz
2
2
j
F es la suma de las tres integrales siguientes:
F = 1
π/2 2
−sen (t) (cos (t) + a), 0, 0 · (−sen (t) , cos (t) , 0) dt =
2 0
= 1
π/2
sen
2 0
3 (t) (cos (t) + a)dt = 1 a
+
8 3
F = 1
π/2
π/2
2 2 1
−a cos (t) , − cos(t)sen (t) , 0 · (0, −sen (t) , cos (t)) dt = sen
2 0
2 0
3 (t) cos (t) dt = 1
8
F = 1
π/2
π/2
2 1
sen (t) cos (t) , 0, 0 · (cos (t) , 0, −sen (t)) dt = sen (t) cos
2
2
3 (t) dt. = 1
8 .
0
La suma de las tres integrales debe ser cero, de donde
0 = 3 a
+
8 3
⇔ a = −9
8 .
OTRA FORMA: Si se cierra la superficie Σ mediante otra superficie S, de forma que Ω sea el
volumen contenido entre ellas, como V ∈ C1 (R3 ) podemos aplicar el Teorema de la divergencia
de Gauss:
VdS + VdS = div (V) dV = 0
Σ
S
Ω
donde se ha utilizado que V siempre es solenoidal. Se pide que la integral sobre Σ sea nula, así que
es suficiente que
VdS = 0 para alguna superficie regular S que también tenga por borde a la
S
curva Γ. Puede elegirse S, por ejemplo, como la unión de las porciones de los tres planos coordenados
limitados por la curva Γ en el primer octante; o bien, como el triángulo esférico del primer octante.
Hagamos los cálculos, por ejemplo, para el triángulo esférico parametrizado como S = {(x, y, z)/
z = 1 − x2 − y2 , (x, y) ∈ D} siendo D = {(x, y)/ x2 + y2 ≤ 1, x, y ≥ 0}. La normal dada por la
parametrización en cada punto es (x, y, z(x, y))/|z(x, y)|, luego:
0 =
VdS = (yz, xz, y(x + a)) · (x, y, z) 1
dxdy =
z
(3xy + ay)dxdy.
S
D
Calculando dichas integrales dobles, se llega al mismo resultado a = − 9
8 .
0
D