Exámenes resueltos.

AMPLIACIÓN DE CÁLCULO (Curso 2003/2004) Convocatoria de junio 10.06.04
Solución del
PROBLEMA 2
(3 puntos)
Sea Γ la curva definida por las ecuaciones cartesianas
y F el campo vectorial dado por
Se pide:
2x − y = 0, z − x 3/2 = 0 (x, y, z ≥ 0)
F(x, y, z) = (xy 2 , x 2 y, −zx 2 ) .
1) Hallar la longitud del arco de Γ determinado por los puntos (0, 0, 0) y (1, 2, 1).
2) Sea C la circulación de F sobre el arco de la curva Γ determinado por el punto (0, 0, 0) y un
punto P arbitrario de la misma. Estudiar si el valor de C alcanza un máximo. En caso afirmativo,
determinar las coordenadas del punto P correspondiente.
3) Sea α una función de clase C 1 en R tal que α(0) = 0 y Λ una curva definida por las ecuaciones
cartesianas
2x − y = 0 , z − α(x) = 0 .
Determinar las funciones α tales que se anule la circulación de F desde (0,0,0) hasta cualquier punto
de la curva Λ.
Respuesta: Se entregará esta hoja y, a lo sumo, una adicional.
1) En primer lugar se debe parametrizar la curva Γ. Puesto que Γ está definida por la intersección
de dos superficies dadas por ecuaciones del tipo f(x, y) = 0, g(x, z) = 0, es decir, en la primera no
interviene la z y en la segunda no interviene la y, la parametrización de la curva se puede llevar a
cabo de forma trivial utilizando la x como parámetro. Por ejemplo se puede tomar la parametrización
r(t) dada por
x = t, y = 2t, z = t 3/2
con t ≥ 0 pues según el enunciado sólo se considera la curva en el primer octante (de hecho, en el
resto de R3 la curva no está ni siquiera definida).
Ahora, puesto que (0, 0, 0) corresponde a t = 0 y (1, 2, 1) a t = 1 se tiene que la longitud pedida
es, por definición,
L =
1
0
r ′ (t) dt =
1
0
1 2 + 2 2 +
3
2 t1/2
2 dt =
1
0
5 + 9 4
tdt =
4 9
2
3
5 + 9
4 t
3/2 | t=1
t=0= 29√
40√
29− 5
27 27
2) Puesto que es fácil parametrizar la curva Γ y el campo F tiene una expresión sencilla, la
circulación de F entre dos puntos cualesquiera se puede calcular directamente mediante la definición,
es decir, mediante el cálculo de una integral curvilínea (si eso no fuese así, se podría comprobar si
F es conservativo y en tal caso la circulación se podría calcular a través de un potencial escalar de
F). Consideramos así la curva entre el punto (0, 0, 0) y un punto genérico correspondiente a un valor
u ≥ 0 del parámetro (es decir, el punto (u, 2u, u3/2 )). Entonces, la circulación como función de u es
u
u
u
C(u) =
0
F(r(t)) · r ′ (t)dt =
0
t(4t 2 ), t 2 (2t), −t 3/2 t 2 · (1, 2, 3
2 t1/2 )dt =
0
(8t 3 − 3
2 t4 )dt