Exámenes resueltos.

entonces la integral de línea del enunciado es:
Γ
b
f = f (x (t) , y (t)) (x ′ (t) , y ′ (t)) dt.
Por otro lado, una parametrización de la superficie es
a
S = {Φ (t, z) = (x (t) , y (t) , z) , t ∈ [a, b], 0 ≤ z ≤ f (x (t) , y (t))} ;
calculemos su área:
A (S) =
S
b
f(x(t),y(t))
ds =
∂Φ
∂t
a
0
× ∂Φ
∂z
dt dz.
En este caso se tiene que
∂Φ ∂Φ
×
∂t ∂z = (x′ (t) , y ′ (t) , 0) × (0, 0, 1) = (x ′ (t) , y ′ (t) , 0) = (x ′ (t) , y ′ (t)) ,
donde se ha utilizado que el producto vectorial de dos vectores ortogonales tiene por
norma el producto de las normas. Con todo ello, queda comprobado que el área coincide
con aquella integral de línea:
b f(x(t),y(t))
A (S) =
(x ′ (t) , y ′ b
(t)) dt dz = f(x (t) , y (t)) (x ′ (t) , y ′
(t)) dt =
a
0
b) Apliquemos el resultado anterior al caso particular en que la curva es
C = {ϕ (t) = (t, sen t), t ∈ [0, 2π]}
y f(x, y) = |y cos x| . Entonces f(x (t) , y (t)) = |sen t cos t| , y por otro lado (x ′ (t) , y ′ (t)) =
(1, cos t) = √ 1 + cos 2 t, así que el área puede calcularse como
A (S) =
2π
0
π/2
= 4
0
f(x (t) , y (t)) (x ′ (t) , y ′ (t)) dt =
a
2π
sent cos t √ 1 + cos2 t dt = 4
√
− 1 + cos2 t
3
0
|sen t cos t| √ 1 + cos 2 t dt =
3 t=π/2
t=0
= 4
2
3
√
2 − 1 .
Γ
f.