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AMPLIACIÓN DE CÁLCULO (Curso 2004/2005) Convocatoria de febrero 15.02.05 PROBLEMA 2 (3 puntos) 1) Calcular el campo escalar u : R 3 −→ R de clase C 1 para que el campo vectorial F definido por: sea conservativo en R 3 . F (x, y, z) = (xy 2 z 2 − 2xy, u(x, y, z), x 2 y 2 z + 1) y F (0, y, z) = (0, y, 1) , 2) En tal caso, calcular la circulación de F sobre la curva Γ definida por las ecuaciones x − z = 0 (xz + yz + y 2 − 3) − √ 1 − x 2 = 0 desde el punto A := (0, 2, 0) hasta el punto B := (1, 1, 1). 3) Calcular la circulación del campo vectorial G definido mediante G(x, y, z) = (y 2 x 2 z − 2yz, x 3 yz − xz + y, x 3 y 2 + 1) sobre el mismo arco de la curva Γ considerado en el apartado anterior. Respuesta: 1) Si F es irrotacional, como el dominio R3 es estrellado, F será conservativo. Imponemos, pues: 0 = −→ i j k rotF = ∂ ∂ ∂ ∂x ∂y ∂z xy2z 2 − 2xy u(x, y, z) x2y2 z + 1 = 2x 2 yz − ∂u ∂u , 0 , ∂z ∂x − 2xyz2 + 2x =⇒ ∂u ∂x = 2xyz2 − 2x =⇒ u = x 2 yz 2 − x 2 + α(y, z) =⇒ 2x 2 yz = ∂u ∂z = 2x2yz + ∂α ∂z luego α(y, z) solo depende de y. Por otra parte, y se tiene (y, z) =⇒ ∂α ∂z F (0, y, z) = (0, y, 1) =⇒ y = u(0, y, z) = α(y, z), u = x 2 yz 2 − x 2 + y. 2) Llamamos L, M, N a las tres componentes de F . Fijado un punto del dominio, por ejemplo, el origen, un potencial escalar U, es decir, un campo que verifica F = −−→ grad U, se puede obtener por la conocida fórmula x y z U(x, y, z) = L(r, 0, 0) dr + M(x, s, 0) ds + N(x, y, t) dt 0 y 0 0 = (−x 2 z + s) ds + (x 2 y 2 t + 1) dt = 0 −x 2 s + s2 s=y 2 s=0 = −x 2 y + y2 2 + x2y2z 2 + z. 2 0 2 2 2 t=z x y t + + t2 2 t=0 = 0,
La circulación que se pide será F · dr = U(1, 1, 1) − U(0, 2, 0) = −1. Γ 3) El campo G no es conservativo pero, en el plano x = z, coincide con F . Por tanto, como Γ está contenida en ese plano, se tiene: G · dr = F · dr = −1. Γ Γ
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F (a0) converge para algún valor a
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son, por definición, las siguiente
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entonces r ′ (t) = (x ′ (t) , y
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lo que desaconseja utilizar este pr
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Por (a) Ap diverge si p ≤ 0. Adem
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e integrando: Σ1 F = = t2 2 −
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Se tiene de donde ya que Por otra p
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de modo que x = 0 ⇒ t = − π 2
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Nota 1. El cálculo de x0, que no s
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Para ello existen varias alternativ
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= C [0,2π]×[0, √ 3] 3 − z(r
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Apdo. 1. La densidad es ρ(x, y, z)
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Parametrización de Γ2: Ya hemos o
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y, como lím e k→∞ −k2 = 0, l
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Obsérvese que aunque H es solenoid
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donde se ha usado que Π es un cír
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