Exámenes resueltos.

AMPLIACIÓN DE CÁLCULO (Curso 2001/2002) Examen Final de Febrero 31.01.02
Solución del
PROBLEMA 2
(3 puntos)
Calcular el flujo del campo vectorial F (x, y, z) = z 2 cos(x 2 + y 2 ) k a través de la semiesfera
según la normal exterior a la esfera.
Respuesta:
x 2 + y 2 + z 2 = a 2 , z ≥ 0,
Utilizando coordenadas esféricas, una parametrización de la semiesfera viene dada por las ecuaciones:
Σ := Σ(θ, φ) = (x(θ, φ), y(θ, φ), z(θ, φ)),
donde,
x(θ, φ) = a cos θ sen φ, y(θ, φ) = a sen θ sen φ, z(θ, φ) = a cos φ,
con 0 < θ < 2π y 0 < φ < π/2.
Un vector en la dirección de la normal a la semiesfera es entonces
n := ∂ Σ
∂φ × ∂ Σ
∂θ = a 2 cos θ (sen φ) 2 , a 2 (sen φ) 2 sen θ, a 2 cos φ sen φ
que, además, tiene el sentido de la normal exterior.
Por otra parte, el valor que toma el campo vectorial sobre la semiesfera es:
F (x(θ, φ), y(θ, φ), z(θ, φ)) = (0, 0, a 2 (cos φ) 2 cos(a 2 (sen φ) 2 )).
Por lo tanto, el flujo pedido es, por definición:
Φ :=
Σ
F · ds =
= 2πa 4
π/2
0
2π
0
π/2
dθ
0
(cos φ) 3 cos(a 2 (sen φ) 2 ) sen φ dφ
Para resolver esta integral efectuamos el cambio de variable
del que se obtiene:
que es el resultado pedido.
a 2 (cos φ) 2 cos(a 2 (sen φ) 2 ) a 2 cos φ sen φ dφ
u = a 2 (sen φ) 2 =⇒ du = 2a 2 cos φ sen φ
a2 Φ := π (a
0
2 − u) cos u du = π(1 − cos a 2 )