Exámenes resueltos.

Ω grad( 1
r )
2
dxdydz y J = S
Sea r := r = x2 + y2 + z2 . En primer lugar,
Sean I =
1 1 grad( r r )ds.
grad( 1 −grad r
) =
r r2 = −r
r 3
donde se ha utilizado que grad r = − r.
Es inmediato comprobar, aunque no lo pide el enunciado, que
r
1
r es armónico en R3
−{0}. Ahora, grad( 1
r )
2
A) Cálculo de I.
I =
1
2 dxdydz
= 1
r4 1 =
(x2 +y2 +z2 ) 2 y 1 1 −r
grad( ) = r r r4 = −(x,y,z)
(x2 +y2 +z2 ) 2 .
Ω (x2 + y2 + z2 )
Por la geometría del recinto y la forma de la función subintegral, lo más adecuado es hacer un cambio
a esféricas.
x = r cos θsenφ ; y = rsenθsenφ ; z = r cos φ
Obviamente, el ángulo θ variará entre 0 y 2π y el ángulo φ entre 0 y π/4. En cuanto a r,
éste variará entre r0 y 1 donde r0 se puede calcular expresando la ecuación del plano z = 1/2 en
coordenadas esféricas
r0 cos φ = 1
2 ⇒ r0 = 1
2 cos φ
Por ello,
I =
1
2 dxdydz =
2π
Ω (x2 + y2 + z2 =
) 0
π 1
π
4
1
4
2π dφsenφ dr = 2π
1
0
r2 0
2 cos φ
π
π
= 2π
4
senφ (2 cos φ − 1) dφ = 4π
4
=
0
2π
0
1
2 sen2φ | π/4
0 −2π cos φ | 0 π/4= π
π 1
4
dθ dφ
1
0
2 cos φ
dφsenφ
√
2 − 1
− 1
r
1
1
2 cos φ
senφ cos φdφ − 2π
1
r 4 r2 senφdr =
=
π
4
0
senφdφ =
B) Cálculo de J. La integral de superficie se calcula descomponiéndola en las integrales correspondientes
a Σ1, Σ2 y Σ3 (ver figura).
J = −
S
r
ds = −
r4 S
r
· nds = −
r4 Σ1
r
· nds+
r4 Σ2
donde n es el vector unitario normal saliente a la superficie.
B.1. Como en la superficie esférica se tiene n = r y r = 1 entonces
Σ1
r
· nds=
r4 Σ1
1 1
ds =
r2 12
ds =
Σ1
Área(Σ1)
=
r
· nds+
r4 Σ3
G
∂Φ
∂φ
× ∂Φ
∂θ
r
· nds
r4
dφdθ
donde (x, y, z) = Φ(u, v), (u, v) ∈ G es una parametrización de Σ1. Como parametrización de Σ1 se
puede tomar
x = cos θsenφ ; y = senθsenφ ; z = cos φ
θ ∈ [0, 2π] ; φ ∈ 0, π
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