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(nótese que una expresión del tipo t 0 F(r(t)) · r′ (t)dt sería incorrecta, pues t denotaría a la vez a la variable de integración y al límite de integración). Obsérvese que puesto que lo que se quiere estudiar es la existencia de máximos de C(u), se puede trabajar estudiando las derivadas de C(u), no hace falta calcular la integral anterior. En efecto, por el teorema fundamental del cálculo, al ser la función subintegral continua, C(u) es derivable y además C ′ (u) = 8u 3 − 3 2 u4 Los ceros de C ′ (u) son u = 0 y u = 16. Para saber si son extremos podemos acudir a la segunda 3 derivada, C ′′ (u) = 24u2 − 6u3 , comprobando que C ′′ ( 16 16 ) < 0, lo que indica que en u = hay un 3 3 máximo local. En cuanto a u = 0, se tiene C ′′ (0) = 0 (con lo que se debe acudir a derivadas de orden superior), C ′′′ (0) = 0 y C (4 (0) > 0 con lo que en u = 0 hay un mínimo local. Para estudiar la existencia de máximo global, basta darse cuenta que el límite de C(u) cuando u tiende a ∞ vale −∞ y que C( 16 16 ) > C(0) para poder afirmar que el máximo global se da en u = , que corresponde 3 3 al punto ( 16 √ 32 64 , , 3). 3 3 9 3) Razonando de la misma manera que en el apartado 1, para la curva dada se puede tomar la parametrización w(t) dada por x = t, y = 2t, z = α(t) donde t pertenece a un conjunto todavía sin determinar. La circulación de F entre el punto (0, 0, 0) y un punto genérico al que asignamos un valor de parámetro u es u H(u) = F(w(t)) · w ′ u 2 2 2 (t)dt = t(4t ), t (2t), −α(t)t · (1, 2, α ′ u (t))dt = (8t 3 − α(t)α ′ (t)t 2 )dt 0 0 Sabemos que H(u) debe ser nula para todo valor de u. La condición necesaria y suficiente es que la función subintegral sea identicamente nula, es decir, 8t 3 − α(t)α ′ (t)t 2 = 0 para todo t (A) Para razonar esto rigurosamente, se puede proceder de la siguiente forma. Si se cumple (A) entonces claramente H(u) es nula para todo valor de u. Recíprocamente, si H(u) = 0 para todo u, derivando y aplicando el teorema fundamental del cálculo se obtiene (A), como se quería demostrar. Otra forma de razonar lo anterior es que la única posibilidad de que H(u) sea nula para todo valor de u es que F sea ortogonal a la curva en todos los puntos, es decir, F(w(t)) · w ′ (t) = 0 para todo t, con lo que se obtiene (A). Se ha obtenido una ecuación diferencial de variables separadas para α. Se tiene así, dividiendo por t 2 α(t)α ′ (t) = 8t e integrando α2 (t) 2 = 4t2 + C ⇔ α 2 (t) = 8t 2 + K ⇔ α(t) = ± √ 8t2 + K donde K es una constante. Como α(0) debe ser cero, se tiene que K = 0 y resulta así que hay dos soluciones dadas por α(t) = ±2 √ 2t BAREMO DE CALIFICACIÓN (sobre 10 puntos) Apdo. 1 −→ 2 puntos Apdo. 2. −→ 4 puntos Apdo. 3. −→ 4 puntos 0
AMPLIACIÓN DE CÁLCULO (Curso 2003/2004) Convocatoria de septiembre 16.09.04 PROBLEMA 1 (4 puntos) Este ejercicio consta de tres preguntas independientes. La dos primeras valen 1 punto y la tercera 2 puntos. 1) Decidir razonadamente para qué valores de los parámetros reales p y q converge la integral impropia: ∞ 1 t p (log t) q dt. Respuesta a 1): Se trata de una integral impropia debido a que el integrando puede no estar acotado en el extremo inferior del intervalo y también debido a que el intervalo de integración no está acotado superiormente. Para el estudio de su convergencia es conveniente realizar el cambio de variable: x = log t, del que se obtiene: ∞ ∞ 1 t p (log t) q dt = 0 x q e (p+1)x dx. Ambas integrales se comportan de la misma manera en lo que a su convergencia se refiere. Consideramos pues la segunda y distinguimos los siguientes casos: A) p+1 > 0. Puesto que la integral es impropia en los dos extremos del intervalo, será convergente si y sólo si lo son simultáneamente las dos integrales: a I1 = x q e (p+1)x ∞ dx , I2 = x q e (p+1)x dx, 0 donde a > 0 es cualquier número real (finito). Ahora bien, si p > −1, I2 es divergente para todo valor de q ∈ R y, por tanto, la integral de partida es siempre divergente en este caso (lo que se puede concluir sin necesidad de analizar el comportamiento de I1). La demostración de que I2 es divergente se puede hacer de forma sencilla utilizando el siguiente • Criterio de Comparación: Sea f integrable en [a, x] para todo x > a. Entonces si lím x→+∞ x n f(x) es finito y no nulo o infinito, para algún n ≤ 1, la integral a +∞ a f(x) dx es divergente. Bata entonces tener en cuenta que, para p + 1 > 0 y para todo q ∈ R, se tiene lím x→∞ xq+1/2 e (p+1)x = ∞. B) p + 1 = 0. En este caso, la integral de partida será convergente si lo son simultáneamente: a J1 = x q ∞ dx , J2 = x q dx, 0 donde a > 0 es cualquier número real (finito). Sin más que aplicar la definición de integral impropia se comprueba que J1 y J2 no convergen simultáneamente para ningún valor de q ∈ R\{0} y que, para q = 0, la integral de partida es, por definición, divergente. C) p + 1 < 0. En esta situación podemos utilizar la función Gamma de Euler: ∞ Γ(α) = x (α−1) e −x dx 0 a
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