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donde Ω ′ es la porción de la esfera unidad contenida en el primer octante. Haciendo un cambio a esféricas (x, y, z) = (r cos θsenϕ, rsenθsenϕ, r cos ϕ), θ ∈ [0, π/2], ϕ ∈ [0, π/2], r ∈ [0, 1] con jacobiano igual a r2senϕ se obtiene − F 2 dv = −48 z 2 dv = −48 Ω = −48 π 2 0 dθ π 2 0 Ω ′ cos 2 ϕsenϕdϕ 1 0 π 2 0 dθ π 2 0 dϕ r 4 dr = −48 π 1 2 3 1 0 r 2 cos 2 ϕr 2 senϕdr = cos 3 ϕ 0 π/2 1 5 = −48π 2 1 1 3 5 = −8π 5 con lo que se comprueba que el resultado es el mismo que en el caso de la integral de superficie. 4) 4.1. Γ es la curva cerrada resultante de la intersección del plano x + y + z = 1 con la superficie cilíndrica x 2 +y 2 = 1. Puesto que la proyección de la curva sobre el plano xy es precisamente la curva x 2 + y 2 = 1, se puede obtener una parametrización de Γ parametrizando dicha proyección mediante x = cos t, y = sent, t ∈ [0, 2π] (nótese que la orientación concuerda con la fijada en el enunciado) y entrando con dichos valores en z = 1 − x − y, es decir, la parametrización γ(t) dada por Por definición de integral curvilínea 2π Gdr = G(γ(t)) · γ ′ (t)dt Γ = = 0 2π 0 2π 0 x = cos t, y = sent, z = 1 − cos t − sent, t ∈ [0, 2π] [sent(1 − cos t − sent)(−sent) − cos t(1 − cos t − sent)(cos t)] dt = (sen 2 t + cos 2 t)(−1 + cos t + sent) dt = 2π 0 (−1 + cos t + sent)dt = −2π pues 2π 0 cos tdt = 2π sentdt = 0. Nótese que si en vez de simplificar en la tercera igualdad se 0 desarrolla el producto se obtiene 2π Gdr = (− cos 2 t − sen 2 t + cos 3 t + sen 3 t + cos tsen 2 t + cos 2 tsent)dt = Γ = 0 2π 0 (−1 + cos 3 t + sen 3 t + cos tsen 2 t + cos 2 tsent)dt = −2π pues 2π 0 cos3 tdt = 2π sen 0 3tdt = 2π 0 cos tsen2t = 2π 0 cos2 tsentdt = 0. 4.2. Aplicando el teorema de Stokes Gdr = rotGdσ = Fdσ Γ S S donde S es cualquier superficie regular que se apoya en Γ y cuya orientación es coherente con la de Γ. Por simplicidad elegimos como S la porción del plano x + y + z = 1 contenida dentro de Γ y orientada según el vector normal unitario n = (1, 1, 1)/ √ 3. Parametrizamos S en cartesianas en la forma (x, y, z) = Φ(x, y) = (x, y, f(x, y)), (x, y) ∈ D donde f(x, y) = 1 − x − y y D = {(x, y) : x2 + y2 ≤ 1}, y utilizando que ∂Φ ∂Φ (x, y) × (x, y) ∂x ∂y = 2 2 ∂f ∂f 1 + + = 1 + (−1) ∂x ∂y 2 + (−1) 2 = √ 3
se obtiene Gdr = Γ = S F · ndσ = 1 √ (x + y − 2z)dσ = 3 S 1 √ (x + y − 2(1 − x − y)) 3 D √ 3dxdy = (−2 + 3x + 3y)dxdy = −2 dxdy = −2Area(D) = −2π D donde se ha utilizado que xdxdy = ydxdy = 0 puesto que la función subintegral es impar D D en x (resp. en y) y D es simétrico respecto del eje x = 0 (resp. y = 0). Nótese que, como debe ser, se ha obtenido el mismo resultado que en el apartado 4.1. D
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= C [0,2π]×[0, √ 3] 3 − z(r
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Obsérvese que aunque H es solenoid
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donde se ha usado que Π es un cír
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