CAPÍTULO 7. Cuerpo rígido - Biblioteca
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<strong>Cuerpo</strong> <strong>rígido</strong> Hugo Medina Guzmán<br />
1 2<br />
dK = dmv , v = ωr<br />
2<br />
1 2 2<br />
⇒ dK = dmω<br />
r<br />
2<br />
Integrando.<br />
1 2 2<br />
K = ∫dK = ∫ ω r dm<br />
M 2<br />
como ω es constante.<br />
= ∫ = ∫M<br />
dm r<br />
dK K<br />
1 2 2<br />
ω<br />
2<br />
El término integral es el momento de inercia del<br />
cuerpo con respecto al eje de rotación<br />
1 2<br />
K = Iω<br />
2<br />
Para relacionar la energía cinética, al trabajo<br />
efectuado sobre el cuerpo por un torque τ .<br />
Supongamos que se aplica una fuerza externa única<br />
F, que actúa en el punto P del cuerpo.<br />
→<br />
El trabajo realizado por F a medida que el cuerpo<br />
gira recorriendo una distancia infinitesimal<br />
ds = rdθ<br />
en un tiempo dt es:<br />
→<br />
→<br />
dW = F⋅<br />
d s = Fsenφ<br />
rdθ<br />
Como F φ r<br />
sen es el torque de la fuerza F<br />
alrededor del origen se puede escribir el trabajo<br />
realizado para la rotación infinitesimal como:<br />
dW = τ dθ<br />
Cuando el cuerpo gira en torno a un eje fijo bajo la<br />
acción de un torque. El cambio de su energía<br />
cinética durante el intervalo dt se puede expresar<br />
como:<br />
dK d ⎛ 1 2 ⎞<br />
dK = dt = ⎜ Iω<br />
⎟dt dt dt ⎝ 2 ⎠<br />
dω<br />
= Iω<br />
dt = Iωα dt = Iα ωdt<br />
dt<br />
Como<br />
τ = Iα<br />
y dθ = ωdt<br />
Obtenemos:<br />
dK = τ dθ<br />
= dW<br />
Si se íntegra esta expresión se obtiene el trabajo<br />
total<br />
1→2<br />
∫<br />
θ<br />
2<br />
W = τ dθ<br />
= ∫ 2<br />
I ωdω<br />
θ<br />
1<br />
ω<br />
ω<br />
1<br />
16<br />
=<br />
1 2 1 2<br />
Iω2 − Iω1<br />
2 2<br />
K K = Δ<br />
2 − 1<br />
= K<br />
“E1 trabajo neto realizado por las fuerzas externas<br />
al hacer girar un cuerpo <strong>rígido</strong> alrededor de un eje<br />
fijo es igual al cambio en la energía cinética de<br />
rotación”.<br />
Por la analogía que existe entre las expresiones para<br />
el movimiento lineal y el movimiento angular,<br />
podemos decir que un torque será conservativo a<br />
condición que exista una función potencial<br />
U = U de tal modo que el trabajo efectuado por<br />
→<br />
( θ )<br />
τ , cuando el cuerpo sufre un desplazamiento<br />
angular ( θ 2 − θ1<br />
) es la diferencia<br />
Así pues se deduce que:<br />
( θ1<br />
) U ( θ2<br />
)<br />
U ( θ ) −U 1 ( θ2<br />
) = K 2 − K1<br />
ó K 1 + U ( θ ) = K ( ) constante<br />
1 2 + U θ = 2<br />
Cuando el sistema no es conservativo<br />
W NO CONSERVATIVO<br />
= ( K1<br />
+ U ( θ ) ) − ( K 2 + U ( θ ) )<br />
1<br />
( )<br />
U − .<br />
POTENCIA<br />
La rapidez con que se realiza este trabajo es:<br />
dW dθ<br />
= τ = τω<br />
dt dt<br />
Expresión que corresponde a la potencia<br />
instantánea.<br />
P = τω<br />
Ejemplo 26. Para la barra giratoria, calcular su<br />
rapidez angular y la rapidez lineal de su centro de<br />
masa y del punto mas bajo de la barra cuando está<br />
vertical.<br />
Solución.<br />
Usando el principio de conservación de la energía,<br />
considerando que la energía potencial se calcula<br />
2