CAPÍTULO 7. Cuerpo rígido - Biblioteca

Cuerpo rígido Hugo Medina Guzmán
El momento de inercia del conjunto tiovivomuchacho
es
I = Im + IT = 25x2 2 + 500
= 600 kg m 2
Planteando la igualdad entre la cantidad de
movimiento angular inicial y final, tendremos:
L = L , mvR = ( I + I )ω
1
ω =
2
mvR
m
125
=
( I + I ) 600
m
T
= 0,208 rad/s
ω
=
2π
f = 0,033 Hz
= 1,99 r.p.m.
Ejemplo 64. Una tornamesa con radio de 8,0 m y
momento de inercia de 2,0 kg.m 2 . La placa
tornamesa rota con una velocidad angular de 1,5
rad/s sobre un eje vertical que pasa a través de su
centro en cojinetes sin fricción. Una bola de 0,40
kg se lanza horizontalmente hacia el eje de la
tornamesa con una velocidad de 3,0 m/s. La bola es
cogida por un mecanismo con forma de tazón en el
borde de la tornamesa.
a) ¿Cuál es cantidad de movimiento angular de la
bola alrededor del eje de la tornamesa?
b) ¿Qué fracción de energía cinética se pierde
durante la captura de la bola?
Solución.
a) La cantidad de movimiento angular de la bola
alrededor del eje de la tornamesa es cero
b)
Energía antes =
1
2
2
mv +
T
1
2
2
I ω
= ( )( ) ( )( ) 2
2 1
1
0,
4 3,
0 + 2,
0 1,
5
2
2
= 4,05 J
1 2
Energía después = I 'O
ω'
2
Para calcular esta energía necesitamos conocer I0 y
ω’.
( )( ) 2
2
I' O = I O + mR = 2,
0 + 0,
4 0,
8
= 2,256 kg/ m 2
L = L ⇒ I = I'
ω'
antes
después
O
Oω
O
37
⎛ I O ⎞ ⎛ 2,
0 ⎞
ω'
=
⎜ = ⎜ ⎟1, 5
' ⎟
⎟ω
⎝ I O ⎠ ⎝ 2,
256 ⎠
rad
= 1 , 33
s
Reemplazando:
2 1 1
I 'O
ω'
= 2,
256 1,
33
2 2
= 2 J
Se pierde 4,05 -2 = 2,05
2,05
fracción de energía = = 0,
5
4,05
Energía después = ( )( ) 2
Ejemplo 65. Una barra rígida de masa M y largo L
gira en un plano vertical alrededor de un eje sin
fricción que pasa por su centro. En los extremos de
la barra se unen dos cuerpos de masas m1 y m2.
Calcular la magnitud del momento angular del
sistema cuando su rapidez angular es ω y la
aceleración angular cuando la barra forma un
ángulo φ con la horizontal.
Solución.
El momento de inercia por el eje de rotación del
sistema es igual a la suma de los momentos de
inercia de los tres componentes, con los valores de
la tabla se obtiene:
1 2 ⎛ L ⎞ ⎛ L ⎞
I = ML + m1⎜
⎟ + m2
⎜ ⎟
12 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
2
L ⎛ M ⎞
= ⎜m1
+ m2
+ ⎟
4 ⎝ 3 ⎠
Como el sistema gira con rapidez angular ω, la
magnitud del momento angular es:
2
L ⎛ M ⎞
L = Iω
= ⎜m1
+ m2
+ ⎟ω
4 ⎝ 3 ⎠
Para calcular la aceleración angular usamos la
relación
τ t
τ t = Iα
⇒ α = , al calcular el torque total
I
en torno el eje de rotación, se obtiene:
L
L
τ t = m1g
cosφ
− m2
g cosφ
2
2
1
= ( m1 −
m2
) gL cosφ
2
2
2