CAPÍTULO 7. Cuerpo rígido - Biblioteca

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Cuerpo rígido Hugo Medina Guzmán M M dm = ds = dθ 2πR 2π El momento de inercia del anillo con respecto al eje z es: 2π 2 2 M I z = ∫ R dm = R dθ M ∫0 2π = [ ] π 2 MR 2 θ 0 = mR 2π 2 Por el teorema de la figura plana I z = I x + I y Por simetría I x = I y Luego I z 1 2 I x = I y = = MR 2 2 d) El momento de inercia de un disco de radio R y masa M con respecto al eje perpendicular que pasa por su centro. Solución. Consideremos como elemento diferencial al anillo de radio r y ancho dr, su masa es: M 2M dm = 2 πrdr = rdr 2 2 πR R El momento de inercia de este anillo con respecto al eje perpendicular que pasa por O es 2 2 2M dIO = r dm = r rdr 2 R 2M 3 = r dr 2 R El momento de inercia del disco es: 4 R R 2M 3 2M ⎡r ⎤ IO = ∫ dIO = ∫ r dr = 0 2 2 R R ⎢ 4 ⎥ ⎣ ⎦0 1 2 = MR 2 e) El momento de inercia de una esfera con respecto a un eje que pasa por su centro. Solución. 4 Consideremos la esfera como una serie de discos. Tomemos un disco diferencial como se muestra en 2 2 la figura, su radio es r = R − z , su espesor dz. La masa del disco es: M 2 M 2 2 dm = π r dz = π ( R − z )dz V V 4 3 M es la masa de la esfera y V = πR el 3 volumen de la esfera. El momento de inercia del disco con respecto al eje z es: 1 2 1 M 2 2 2 dI z = dmr = π ( R − z ) dz 2 2 V El momento de inercia de la esfera lo encontramos integrando esta expresión desde z = - R a z = R. R 1 M 2 2 2 I z = ∫ dI z = ∫ π ( R − z ) dz −R 2 V M R 2 2 2 MR = π ∫ ( R − z ) dz = V 0 V 5 8 π 15 2 2 = MR 5 Para encontrar el momento de inercia con respecto a un eje arbitrario como se muestra en la figura siguiente aplicamos el teorema de Steiner. 2 2 2 2 I P = I O + Md = MR + Md 5 2 ⎡ ⎤ 2 2 ⎛ R ⎞ I P = Md ⎢1 + ⎜ ⎟ ⎥ ⎢⎣ 5 ⎝ d ⎠ ⎥⎦ En el caso en que R
Cuerpo rígido Hugo Medina Guzmán si fuera una masa puntual y el momento de inercia se reduce a: 2 I O = Md Ejemplo 2. Hallar el momento de inercia de un disco de masa M y radio R que gira alrededor de un eje paralelo a un diámetro y que pasa por el borde del disco. Solución. Por el teorema de las figuras planas Iz = Ix + Iy ; Además por simetría Ix = Iy, Por tanto Ix = Iz/2 = ¼ MR 2 Aplicando el teorema de Steiner I = ¼ MR 2 + MR 2 = 5/4 MR 2 SEGUNDA LEY DE NEWTON PARA ROTACION En esta sección vamos a analizar el movimiento de un cuerpo rígido que gira en torno a un eje fijo en el espacio. θ = es el desplazamiento angular del punto del cuerpo desde la línea referencial, la velocidad angular del cuerpo es: dθ ω = dt Como cada punto del cuerpo gira a la misma velocidad angular ω , el desplazamiento θ ( t) de cualquier punto describe el desplazamiento del cuerpo como un todo. Para el sistema de partículas vimos que la suma de El cuerpo gira en torno al eje x. Si θ ( t) 5 los torques producidos por las fuerzas externas que actúan sobre el sistema es igual al cambio de la cantidad de movimiento angular. d L dt → → τ = Esto es válido también para el cuerpo rígido, donde L es la cantidad de movimiento angular can respecto al eje x de la figura anterior. Como → → → d L d → ⎛ ⎞ L = I ω ⇒ = ⎜ I ω ⎟ dt dt ⎝ ⎠ Siendo I el momento de inercia del cuerpo en torno al eje dado, es constante en el tiempo y → → d ω τ = I dt Como → → d ω → = α , aceleración angular del cuerpo dt → τ = I α Esta expresión tiene similitud a la ley de Newton → → F = m a Ejemplo 3. Una barra uniforme de longitud L y masa M, que gira libremente alrededor de una bisagra sin fricción, se suelta desde el reposo en su posición horizontal, como se muestra en la figura. Calcular la aceleración angular de la barra y su aceleración lineal inicial de su extremo. Solución. Como el torque de la fuerza en la bisagra es cero, se puede calcular el torque en torno a la bisagra producido por la otra fuerza externa que actúa sobre la barra, que es su peso, suponiendo que la barra es homogénea y que el peso actúa en su centro geométrico. Entonces: 1 τ = rMg = LMg 2 τ I 1 2 I = ML . 3 1 Iα = 2 Como = α , y el momento de inercia de la barra es Se tiene: LMg
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