CAPÍTULO 7. Cuerpo rígido - Biblioteca

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Cuerpo rígido Hugo Medina Guzmán 1 2 l ⎛ ⎞ = I Oω − ⎜ Mg + mgd ⎟ 2 ⎝ 2 ⎠ ⎛ 1 2 2 ⎞ = I O = ⎜ Ml + md ⎟ ⎝ 3 ⎠ Energía cuando alcanza el punto más alto ⎛ ⎞ = − ⎜ Mg + mgd ⎟( 1− cosθ ) ⎝ 2 ⎠ l Por conservación de energía: Energía justo después del choque = energía cuando alcanza el punto más alto. 1 2 ⎛ l ⎞ I Oω − ⎜ Mg + mgd ⎟ 2 ⎝ 2 ⎠ ⎛ ⎞ = − ⎜ Mg + mgd ⎟( 1− cosθ ) ⎝ 2 ⎠ l 1 2 ⎛ l ⎞ ⇒ I Oω = ⎜ Mg + mgd ⎟cosθ 2 ⎝ 2 ⎠ 1 2 I Oω ⇒ cosθ = 2 ⎛ l ⎞ ⎜ Mg + mgd ⎟ ⎝ 2 ⎠ ( mv d ) 1 ⎛ 1 2 2 ⎞ 0 ⎜ Ml + md ⎟ 2 ⎝ 3 ⎠ ⎛ 1 2 ⎜ Ml + md = ⎝ 3 ⎛ l ⎞ ⎜ Mg + mgd ⎟ ⎝ 2 ⎠ 2 2 2 = m v0 d ⎛ l ⎞⎛ 1 2 2 ⎞ 2⎜ M + md ⎟⎜ Ml + md ⎟g ⎝ 2 ⎠⎝ 3 ⎠ = l 1− cosθ ⇒ h ( ) máx 2 2 ⎞ ⎟ ⎠ d) El trabajo del proyectil cuando se incrusta contra la barra. ⎛ 1 2 l ⎞ W = ΔE = ⎜ mv0 − Mg − mgd ⎟ ⎝ 2 2 ⎠ ⎡1 2 ⎛ l ⎞⎤ - ⎢ IOω + ⎜− Mg − mgd ⎟⎥ ⎣2 ⎝ 2 ⎠⎦ = 1 2 mv − 2 0 1 2 2 I ω O Ejemplo 71. Un bloque de masa M se pega a una plataforma circular, a una distancia b de su centro. La plataforma puede rotar, sin fricción, alrededor de un eje vertical alrededor de su centro. Siendo I p su momento de inercia con respecto a ésta. Si un proyectil de masa m que se mueve con una velocidad horizontal v 0 , como se muestra en la figura, incide y queda en el bloque. Encontrar la 2 40 velocidad angular del bloque después del choque. Solución. Cantidad de movimiento angular antes del choque con respecto al eje O. → → → Lantes = r× p = −rmv sen kˆ 0 θ = − mbv kˆ 0 Para encontrar la cantidad de movimiento angular después del choque, según la figura siguiente. [ ( ) ] → 2 I + m + M → L después p b = ω Por conservación de la cantidad de movimiento angular → L antes → después = L [ ] → 2 ⇒ θ kˆ = I + ( m + M ) − sen b ω rmv0 p → rmv0senθ ⇒ ω = − [ ( ) ] k 2 I + m + M b p Ejemplo 72. Se tiene una plataforma circular que puede rotar sin fricción alrededor de un eje perpendicular al centro. E1 momento de inercia de la plataforma con respecto al eje es p I . Un insecto de masa m se coloca sobre la plataforma a una distancia b del eje. El sistema se hace girar con una velocidad angular 0 ω en el sentido horario. El insecto empieza a correr en una circunferencia de radio b alrededor del eje con una velocidad de magnitud constante 0 v , medida relativa a tierra. a) ¿Cual es la cantidad de movimiento angular total si el insecto corre con la plataforma? b) ¿Cuál será si corre en oposición a la rotación de la plataforma? c) ¿Es posible que el pequeño insecto pueda detener la gran plataforma? ¿Cómo? Solución. La cantidad de movimiento angular del sistema antes que el insecto comience a correr es: ˆ
Cuerpo rígido Hugo Medina Guzmán → 2 2 ( I + mb ) ω = −( I + mb ) ω kˆ → L = p 0 p a) Cuando el insecto corre en el mismo sentido del giro con módulo de velocidad v 0 su cantidad de movimiento angular es: → 2 ( I + mb ) ω '− mbv kˆ → L' = p o Pero como la cantidad de movimiento angular es constante. La cantidad de movimiento angular total es: L L = − p 2 ( I + mb ) ω kˆ → → ' = 0 b) En este caso, como en el caso anterior → → L' = L 2 ( I + mb ) ω kˆ ← L' = − p 0 c) Si es posible, tomando el caso a) → 2 = ( I p + mb ) ω '− mbv kˆ 2 = − ( + mb ) ω kˆ → L' o I p 0 La plataforma se detiene cuando ω '= 0 , es decir: mbv kˆ 2 − ( I p mb ) kˆ 0 = − + ω0 Esto sucede cuando 2 ( I p mb ) v0 ω0 mb + = En el sentido indicado en el caso a). Ejemplo 73. Se da a un cilindro homogéneo de radio R y masa M con una velocidad horizontal v 1 y una velocidad angular ω 1 en sentido opuesto a las agujas del reloj ω 1 = v1 R en la parte sin rozamiento de la superficie horizontal. Más allá del punto A, cambia la superficie de manera que a la derecha de A el coeficiente de rozamiento es μ . 0 41 Resolver usando la conservación de la cantidad de movimiento angular. Solución. En la parte lisa no hay fuerza de fricción, en la parte áspera aparece la tuerza de fricción, cuya línea de acción está en el plano. Por tanto, la cantidad de movimiento angular del disco respecto a un punto de referencia en el plano permanecerá Constante durante todo el movimiento (por ejemplo A). La cantidad de movimiento antes de llegar a A. → → → → L = r× M v1 = I 0 ω1 × → → Como r v rv sen kˆ Rv kˆ 1 = − 1 θ = − 1 , 1 → 2 v I 0 = MR , kˆ 1 ω kˆ 1 = ω1 = 2 R → 1 1 L = −MRv kˆ MRv kˆ MRv kˆ 1 + 1 = − 1 2 2 La cantidad de movimiento angular después de pasar A y haber 1legado a rodar sin deslizar. Se traslada con velocidad v 2 tal que → → → → L ' = r× M v2 = I 0 ω2 × → → v2 2 = ω . R Como r v rv sen kˆ Rv kˆ 2 = − 2 θ = − 2 , 1 → 2 v I 0 = MR , kˆ 2 ω kˆ 2 = −ω2 = 2 R → 1 3 L' = −MRv kˆ MRv kˆ MRv kˆ 2 − 2 = − 2 2 2
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