CAPÍTULO 7. Cuerpo rígido - Biblioteca

Cuerpo rígido Hugo Medina Guzmán
Ejemplo 10. La figura representa un cilindro
macizo y homogéneo de radio R = 20 cm y masa
M = 20 kg. A su periferia va arrollado un hilo ideal
de cuyo extremo libre cuelga una masa m = 8 kg.
Por una hendidura muy fina se le arrolla otro hilo
ideal a una distancia del eje horizontal r = 10 cm, a
cuyo extremo libre se le aplica una fuerza constante
F = 200 N. Calcular:
a) Momento de inercia del cilindro respecto a un eje
que coincida con una generatriz.
b) Aceleración con que sube la masa m.
c) Aceleración angular del cilindro.
d) Tensión del hilo que sostiene la masa.
Solución.
a) Aplicando el teorema de Steiner,
I = ½ MR 2 +MR 2 = 3/2 MR 2
b) Podemos plantear dos ecuaciones:
T − mg = ma y
⎛ 1 2 ⎞⎛
a ⎞ 1
Fr − TR = Iα
= ⎜ MR ⎟⎜
⎟ = MRa
⎝ 2 ⎠⎝
R ⎠ 2
Que conducen a:
⎛ 1 ⎞
Fr − mgR = a⎜mR
+ MR⎟
.
⎝ 2 ⎠
Por lo tanto la aceleración a vale:
Fr − mgR 20 −15,
68
a =
=
1 1,
6 + 2
mR + mR
2
= 1,2 m / s 2
a 1,
2
c) α = =
R 0,
2
= 6 rad/s 2 .
d) T = mg + ma = 8 (9,8 +1,2)
= 88 N.
Ejemplo 11. Dos poleas cuyos radios son 1 m y
0,3 m, están acopladas pegada una a la otra en un
plano vertical, formando un bloque que gira
alrededor de su eje de rotación común. De la
garganta de la polea grande pende una masa de 20
9
kg y de la garganta de la polea pequeña pende otra
masa de 100 kg que tiende a hacer girar a las poleas
en sentido contrario al anterior. El momento de
inercia del sistema formado por las dos poleas es de
10 kg m 2 . Al dejar el sistema en libertad, se pone en
movimiento espontáneamente. Se pide:
a) ¿En qué sentido se mueven las poleas?
b) Valor de la aceleración con que se mueve cada
una.
c) Aceleración angular de las poleas.
d) Tensión de la cuerda que sostiene la masa de 100
kg cuando el sistema está en movimiento.
Solución.
a) Cuando las poleas están inicialmente en reposo,
los pesos coinciden con las tensiones.
Por tanto T1 = 200 N, y T2 = 1000 N.
El momento que ejerce T1 valdrá
τ 1 = T1R1
= 200 Nm
El que ejerce T2 valdrá
τ 2 = T2R
2 = 300 N m.
Por tanto, al ser el momento de la fuerza T2 mayor,
la polea girará de modo que la masa M1suba.
b) y c) Planteando la ecuación fundamental de la
dinámica a cada masa y a la polea, tendremos:
T 1 − M 1g
= M 1a1
⇒ T1 − M 1g
= M 1αR1
(1)
M 2 g − T2
= M 2a
2
⇒ M 2 g − T2
= M 2αR2
(2)
τ 2 −τ 1 = Iα
⇒ T 2 R2
− T1R1
= Iα
(3)
De las tres ecuaciones obtenemos α :
M 2 gR2
− M 1gR1
α = 2
2
M 2R2
+ M 1R1
+ I
30 − 20
= g = 2,51 rad / s
20 + 9 + 10
2 .
La aceleración de cada masa será:
a1 = αR1
= 2,51 m/s 2 ,
a2 = αR2
= 0,75 m/s 2
T = M g − M αR
= 904,7 N
d) 2 2 2 2
Ejemplo 12. Un rollo de 16,0 kg de papel con
radio R = 18,0 cm descansa contra la pared