CAPÍTULO 7. Cuerpo rígido - Biblioteca

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Cuerpo rígido Hugo Medina Guzmán Reemplazando en α los valores de I y de τ t , se obtiene la aceleración angular: τ t 2( m1 − m2 ) g cosφ α = = I L m + m + M 3 ( ) 1 2 Ejemplo 66. En la figura las masas m1 y m2 se conectan por una cuerda ideal que pasa por una polea de radio R y momento de inercia I alrededor de su eje. La mesa no tiene roce, calcular la aceleración del sistema. Solución. Primero se calcula en momento angular del sistema de las dos masas más la polea: v L = m1 vR + m2vR + I R Luego se calcula el torque externo sobre el sistema, la única fuerza externa que contribuye al torque total es m1g, entonces el torque es τ = m1gR . Entonces se tiene: dL τ = ⇒ dt d ⎡ v ⎤ m1 gR = ⎢( m1 + m2 ) vR + I dt ⎣ R ⎥ ⎦ dv I dv m 1 gR = ( m1 + m2 ) R + dt R dt ⎛ I ⎞ ⇒ m1 gR = ⎜m1 + m2 + ⎟Ra 2 ⎝ R ⎠ m1g ⇒ a = I m1 + m2 + 2 R Ejemplo 67. Una varilla de 500 g y 75 cm de longitud, lleva soldada en un extremo una esfera de 10 cm de radio y 250 g de masa. Calcular: a) El momento de inercia cuando gira, alrededor de un eje perpendicular a la varilla que pasa por el extremo libre. b) La cantidad de movimiento angular del conjunto si gira a 12 rpm. Solución. 38 a) El momento de inercia será la suma del momento de inercia de una varilla, más el de la esfera. Como la esfera está a L+R del eje, aplicamos Steiner: ( ) 2 2 2 1 2 I e = me R + me L + R , IV = mV L 5 3 I = I e + IV 2 2 2 1 2 = me R + me ( L + R) + mV L 5 3 ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 2 2 1 I = 0, 25 0, 1 + 0, 25 0, 85 + 0, 5 0, 75 5 3 = 0,27 kg.m 2 2π b) L = Iω = 0 , 27 = 0, 27( 2π f ) T 12 = 0, 54π = 0,345 kgm 60 2 / s Ejemplo 68. Un cilindro de 50 kg y 20 cm de radio, gira respecto de un eje vertical que coincide con su eje de simetría, debido a una fuerza constante, aplicada a su periferia que, después de 40 s de iniciado el movimiento, alcanza 200 r.p.m. Calcular: El valor de la fuerza y el torque de la fuerza aplicada. Solución. La frecuencia de rotación adquirida vale: 200 f = Hz 60 La velocidad angular: 200 20 rad ω = 2πf = 2π = π 60 3 s La aceleración angular: Δω π rad = α = Δt 6 s 2 Por otra parte el momento de inercia del cilindro vale: 1 2 1 2 I = mR = ( 50)( 0, 2) = 1 kgm 2 2 2 . Luego el torque de la fuerza aplicada () 1 6 π τ = FR = Iα = = 0,52 Nm. La fuerza tangencial: τ 0, 52 F = = = 2,6 N R 0, 2
Cuerpo rígido Hugo Medina Guzmán Ejemplo 69. Un anillo de masa M y radio R (ICM = MR 2 ), cae en rodadura pura sobre un plano inclinado que forma un ángulo θ con la horizontal. a) Hacer el DCL. del anillo. b) Hallar la aceleración del centro de masa del anillo. c) Encontrar el valor de la fricción entre el plano inclinado y el anillo. d) ¿Cuál debe ser el mínimo valor del coeficiente de rozamiento estático entre el plano y el anillo para que este se encuentre en rodadura pura? Solución. a) El DCL. del anillo. b) Segunda ley de Newton para la traslación Mgsenθ − F f = Ma Segunda ley de Newton para la rotación 2 a Iα = F f R ⇒ MR = F f R ⇒ R F f = Ma Reemplazando el valor de Ff en la primera ecuación. Mgsen θ − Ma = Ma ⇒ Mgsen θ = 2Ma 1 Finalmente a = gsenθ 2 c) El valor de la fuerza de fricción entre el plano inclinado y el anillo. 1 F f = Ma = Mg senθ 2 d) El mínimo valor del coeficiente de rozamiento estático entre el plano y el anillo para que este se encuentre en rodadura pura debe de cumplir 1 Ff = μk N = Mgsenθ 2 Mgsenθ 1 ⇒ μk = = tanθ 2Mg cos 2 θ Ejemplo 70. Una barra uniforme AB de masa M y 39 ⎛ 1 2 ⎞ longitud l ⎜ I CM = Ml ⎟ se sostiene de un ⎝ 12 ⎠ extremo mediante un pivote sin fricción. La barra se encuentra inicialmente en reposo en forma vertical cuando un proyectil de masa m impacta sobre ella y queda incrustado instantáneamente. La velocidad inicial del proyectil es v 0 . Hallar: a) La cantidad de movimiento angular del sistema respecto del pivote justo antes de la colisión. b) La velocidad angular de giro del sistema después que el proyectil se incrusta en la barra. c) La altura máxima que alcanzará el CM de la barra. d) El trabajo del proyectil cuando se incrusta contra la barra. Solución. a) La cantidad de movimiento angular del sistema respecto del pivote justo antes de la colisión. Lantes = mv0d b) La velocidad angular de giro del sistema después que el proyectil se incrusta en la barra. L = L antes después 1 2 mv0d = Ml ω + ( ωd )d 3 mv0d ⇒ ω = ⎛ 1 2 2 ⎞ ⎜ Ml + md ⎟ ⎝ 3 ⎠ c) La altura máxima que alcanzará el CM de la barra. Energía justo después del choque
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