CAPÍTULO 7. Cuerpo rígido - Biblioteca

Cuerpo rígido Hugo Medina Guzmán
Solución.
En la figura vemos que la fuerza F se aplica a una
distancia h sobre el centro.
Suponiendo que F f actúa hacia la izquierda.
Aplicando las leyes de Newton del movimiento:
Traslación
F − Ff
= Ma
(1)
N − Mg = 0
(2)
Rotación alrededor del centro de masa
1 2 α
Fh + F f R = I CMα
=
a
Considerando α =
R
MR
2
(3)
h
2 F + 2F
f
R
= Ma
(3a)
Igualando (1) y (3a)
F − F f
h
= 2 F + 2F
f
R
3 F f
⎛ h ⎞
= F⎜1
− 2 ⎟
⎝ R ⎠
Discusión:
a) F f
h
R
= 0 , cuando 1 − 2 = 0 ⇒ h =
R
2
Esto quiere decir si F se aplica a R/2 del centro, la
fuerza de rozamiento es cero.
b) Si h = R
⎛ R ⎞
F
3 F f = F⎜1
− 2 ⎟ = −F
⇒ Ff = −
⎝ R ⎠
3
el rozamiento es en sentido contrario al indicado y
la ecuación (3) se convierte en:
( ) α
2
⎛ F ⎞ 1
F ´ R − ⎜ ⎟R
= MR
⎝ 3 ⎠ 2
2 1
⇒ F = MRα
3 2
4F
⇒ α =
3MR
Esto indica que el cilindro rueda hacia la derecha.
c) Si disminuye h hasta que h = 0.
28
( 0)
⎡ ⎤
3 F f = F
⎢
1−
2 = F
⎣ R ⎥
⇒
⎦
En la ecuación (3)
⎛ F ⎞
1
F( 0)
+ ⎜ ⎟R
= I CM α = MR
⎝ 3 ⎠
2
F 1 2
R = MR α ⇒
3 2
2F
α =
3MR
El cilindro rueda hacia la derecha.
F f =
2 α
F
3
d) Si F se hace muy grande tal que Ff tiende a
aumentar, tan pronto como sobrepase el valor
máximo posible de la tuerza de rozamiento (μN), el
disco deslizará.
Se debe hacer una nueva hipótesis, esta vez se
tienen también las ecuaciones (1), (2) y (3) pero
α ≠ a R .
Ejemplo 47. Un carrete de radio interior R1 y radio
exterior R2 se halla sobre un suelo áspero. Se tira de
él con una tuerza F mediante un hilo arrollado en
torno a su cilindro interior. Se mantiene un ángulo
θ con la horizontal. Se observa que hay un ángulo
Crítico θ 0 , tal que θ < θ o , el carrete rueda sin
deslizar en el sentido del cual se tira de él, y para
θ > θ o el carrete rueda sin deslizar en sentido
contrario, ¿Cuál es el valor del ángulo critico.
Solución.
Aplicando las leyes de Newton del movimiento;
Traslación:
F cosθ − Ff
= Ma = MαR2
(1)
Fsen θ − Mg + N = 0
Rotación:
F R + FR = I α
− f 2 1 CM ⇒
f R2
= FR1
I CMα
⇒
F −
F
f
R1
I CM
= F R1
− α (2)
R R
2
2
Eliminando la fuerza F f ., reemplazando (2) en
(1):