CAPÍTULO 7. Cuerpo rígido - Biblioteca

Cuerpo rígido Hugo Medina Guzmán
extremos que se mantiene fijo, bajo la acción de su
peso. Escriba la ecuación diferencial para el ángulo
que ella gira.
Solución.
Por conservación de energía
11 • 2
2 L
E = ML θ − Mg cos
23
2
θ
Derivando respecto al tiempo
1 • ••
2 L •
ML θ θ + Mg θ senθ
= 0
3
2
Finalmente
••
3g
θ + senθ
= 0
2L
Ejemplo 42. Un péndulo de torsión consiste en un
disco uniforme de masa M y radio R suspendido de
una barra delgada y vertical de masa despreciable y
que puede torcerse al dar vuelta al disco alrededor
de su eje, como se indica en la figura. La barra tiene
una Constante de elasticidad torsional k.
inicialmente se hace girar el disco un ángulo θ
respecto del equilibrio y luego se le suelta desde el
reposo. Determinar su velocidad de rotación cuando
llega nuevamente a la posición de equilibrio.
Solución.
Con la ley de Hooke para rotación,
τ = −kθ
El trabajo para torcer un ángulo θ es:
θ
θ
1 2
W = −∫
τ dθ
= −∫
( − kθ
) dθ
= k θ
0
0
2
Este trabajo queda como energía potencial.
1 2
U ( θ ) = kθ
2
Al liberarse esta se convierte en energía cinética.
Al pasar por el punto de equilibrio la energía es
24
puramente energía cinética.
1 2 1 ⎛ 1 2 ⎞ 2 1
K = Iω
= ⎜ MR ⎟ω
= MR
2 2 ⎝ 2 ⎠ 4
Por conservación de energía.
2
1 2 1 2 2 2 2kθ
k θ = MR ω ⇒ ω = 2
2 4
MR
Finalmente
ω =
2
2kθ
2
MR
2
ω
TRASLACIONES Y ROTACIONES
COMBINADAS
Hasta ahora solo hemos tomado en consideración la
rotación del cuerpo en torno a un eje fijo en el
espacio.
La finalidad de esta sección es estudiar el caso en
que el eje de rotación si acelera también vamos a
presentar tres métodos analíticos de resolver este
caso.
Primer método
Aplicamos la segunda ley de Newton para
traslación relativa ejes no rotantes a través del
centro de masa. Para ilustrar este método y los otros
también, consideremos un cuerpo de radio R, masa
M y momento de inercia respecto a su entro masa I,
al que se le obliga a rodar sin deslizamiento a lo
largo de una superficie horizontal por medio de una
fuerza F que actúa en su centro de masa, La tuerza
de fricción F f y la reacción N actúan tal como se
muestra en la figura siguiente.
EL cuerpo se mueve con una aceleración horizontal
a que es la que corresponde a su centro de masa, y
a su vez rota con aceleración angular α .
Como rueda sin deslizamiento la relación entre el
desplazamiento lineal y el desplazamiento angular
es x = Rθ
.
La velocidad es
dx dθ
= R ⇒ v = Rω
dt dt
La aceleración es
dv dω
= R ⇒ a = Rα
dt dt
Aplicando la segunda ley de Newton para traslación
2