CAPÍTULO 7. Cuerpo rígido - Biblioteca

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Cuerpo rígido Hugo Medina Guzmán Solución. En la figura vemos que la fuerza F se aplica a una distancia h sobre el centro. Suponiendo que F f actúa hacia la izquierda. Aplicando las leyes de Newton del movimiento: Traslación F − Ff = Ma (1) N − Mg = 0 (2) Rotación alrededor del centro de masa 1 2 α Fh + F f R = I CMα = a Considerando α = R MR 2 (3) h 2 F + 2F f R = Ma (3a) Igualando (1) y (3a) F − F f h = 2 F + 2F f R 3 F f ⎛ h ⎞ = F⎜1 − 2 ⎟ ⎝ R ⎠ Discusión: a) F f h R = 0 , cuando 1 − 2 = 0 ⇒ h = R 2 Esto quiere decir si F se aplica a R/2 del centro, la fuerza de rozamiento es cero. b) Si h = R ⎛ R ⎞ F 3 F f = F⎜1 − 2 ⎟ = −F ⇒ Ff = − ⎝ R ⎠ 3 el rozamiento es en sentido contrario al indicado y la ecuación (3) se convierte en: ( ) α 2 ⎛ F ⎞ 1 F ´ R − ⎜ ⎟R = MR ⎝ 3 ⎠ 2 2 1 ⇒ F = MRα 3 2 4F ⇒ α = 3MR Esto indica que el cilindro rueda hacia la derecha. c) Si disminuye h hasta que h = 0. 28 ( 0) ⎡ ⎤ 3 F f = F ⎢ 1− 2 = F ⎣ R ⎥ ⇒ ⎦ En la ecuación (3) ⎛ F ⎞ 1 F( 0) + ⎜ ⎟R = I CM α = MR ⎝ 3 ⎠ 2 F 1 2 R = MR α ⇒ 3 2 2F α = 3MR El cilindro rueda hacia la derecha. F f = 2 α F 3 d) Si F se hace muy grande tal que Ff tiende a aumentar, tan pronto como sobrepase el valor máximo posible de la tuerza de rozamiento (μN), el disco deslizará. Se debe hacer una nueva hipótesis, esta vez se tienen también las ecuaciones (1), (2) y (3) pero α ≠ a R . Ejemplo 47. Un carrete de radio interior R1 y radio exterior R2 se halla sobre un suelo áspero. Se tira de él con una tuerza F mediante un hilo arrollado en torno a su cilindro interior. Se mantiene un ángulo θ con la horizontal. Se observa que hay un ángulo Crítico θ 0 , tal que θ < θ o , el carrete rueda sin deslizar en el sentido del cual se tira de él, y para θ > θ o el carrete rueda sin deslizar en sentido contrario, ¿Cuál es el valor del ángulo critico. Solución. Aplicando las leyes de Newton del movimiento; Traslación: F cosθ − Ff = Ma = MαR2 (1) Fsen θ − Mg + N = 0 Rotación: F R + FR = I α − f 2 1 CM ⇒ f R2 = FR1 I CMα ⇒ F − F f R1 I CM = F R1 − α (2) R R 2 2 Eliminando la fuerza F f ., reemplazando (2) en (1):
Cuerpo rígido Hugo Medina Guzmán ⎛ R1 I CM ⎞ F cos θ − ⎜ F R − α = Ma R R ⎟ 1 ⎝ 2 2 ⎠ R1 I CM F cosθ − F R1 + α = MαR R R ⇒ 2 2 2 2 ⎛ θ ⎛ ⎞ 2 − 1 ⎞ 2 − ⇒ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ α ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ cos R R MR I CM F R R ( R2 θ − R1 ) dω ⇒ α = F = 2 MR − I cos ( ) dt 2 CM La rotación hará que el movimiento del carrete será dω hacia adelante cuando dt > 0 R2 cosθ − R1 R1 ⇒ cosθ > R > 0 2 dω El movimiento será hacia atrás cuando dt < 0 R2 cosθ − R1 R1 ⇒ cosθ < R < 0 2 dω El ángulo crítico es cuando dt = 0 R2 cosθ − R1 R1 ⇒ cosθ = R = 0 2 Ejemplo 48. Un disco de masa M y radio R se apoya sobre un plano horizontal áspero de modo que puede rodar sin resbalar con su plano vertical. Si se tira del centro del disco con una fuerza horizontal constante F, determine: a) La aceleración del centro de masa del disco. b) La aceleración angular del disco. c) La fuerza de roce. Solución. Aquí F − Ff = Ma , N − Mg = 0 , 1 2 1 F f R = MR α = 2 2 Entonces MRa 29 1 Ff = Ma 2 Que sustituida en la primera da: 2F a) a = , 3M a 2F b) α = = , R 3MR 1 F c) Ff = Ma = 2 3 Ejemplo 49. Un disco de masa M y radio 2R se apoya sobre un plano horizontal áspero de modo que puede rodar sin resbalar con su plano vertical. El disco tiene un resalto de radio R como se indica en la figura, en el cual se enrolla una cuerda que se tira con una fuerza horizontal constante F, determine: a) La aceleración del centro de masa del disco. b) La aceleración angular del disco. c) La fuerza de roce. Solución. Ahora F − Ff = Ma , N − Mg = 0 ( ) α 2 1 Ff 2R + FR = M 2R 2 2⎛ a ⎞ = 2MR ⎜ ⎟ = MRa ⎝ 2R ⎠ Simplificando: 2 F + F = Ma = F − F f ⇒ F f = 0 De donde resulta: F a) a = m F b) α = 2MR c) F = 0 f f
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