CAPÍTULO 7. Cuerpo rígido - Biblioteca

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Cuerpo rígido Hugo Medina Guzmán Otra forma de calcular es: ∫ θ = 2 W τ dθ , θ1 = F0R W F0 R 2 −θ 1 = F0 Con α = 2F0 , ω 0 = 0 τ (constante) ( θ ) Δθ = R MR 1 2 1 ⎛ 2F0 ⎞ 2 F0 ⇒ θ = αt = ⎜ ⎟t = t 2 2 ⎝ MR ⎠ MR Finalmente 2 ⎛ F 2 ⎞ F 0 0 2 W = F0R⎜ t ⎟ = t ⎝ MR ⎠ M Ejemplo 29. Un carrete de hilo delgado tiene radio R y masa M. Si se jala el hilo de tal modo que el centro de masa del carrete permanezca suspendido en el mismo lugar. a) ¿Qué fuerza se ejerce sobre el carrete? b) ¿Cuánto trabajo se habrá realizado cuando el carrete gira con velocidad angular ω ? Solución. La figura muestra al carrete suspendido. El carrete solo tiene movimiento circular ya que está en equilibrio vertical Aplicando las leyes de Newton: ∑ F y = 0 ⇒ 0 = − Mg T ∑ τ = Iα ⇒ TR = Iα 1 2 Como I = MR , obtenemos: 2 1 2 MgR = MR α 2 2g y α = R a) La fuerza que se ejerce sobre el carrete es T = Mg b) Como el trabajo realizado es: 2 W = τ Δθ , donde τ = TR = MgR 2 2 Siendo α constante ⇒ ω = ω0 + 2αΔθ 2 Si ω 0 = 0 ⇒ ω = 2αΔθ y 2 2 ω ω R Δ θ = = 2α 4g 2 18 ω 2 R 1 2 2 Luego W = MgR = Mω R 4g 4 Otra forma de evaluar el trabajo es por la conservación de la energía. 2 1 K K K W − = Δ 1 2 = = I ω − 0 2 1 ⎛ 1 2 ⎞ 2 1 2 2 = ⎜ MR ⎟ω = Mω R 2 ⎝ 2 ⎠ 4 Ejemplo 30. Una plataforma cilíndrica uniforme de 180 kg de masa y 4,5 m de radio se frena de 3,2 rev/s al reposo en 18 s cuando se desconecta el. motor. Calcular la potencia de salida del motor (hp) para mantener una velocidad constante de 3,2 rev/s. Solución. Como primer paso debemos conocer cuál es el torque de frenado que tenemos que vencer para mantener la velocidad constante, ese torque lo calcularemos de la siguiente manera: τ = Iα frenado 2 I = . α frenado frenado 1 MR 2 Δ = Δt ω ω2 − ω1 ω = = − t − t t 2 1 2 ω MR ω τ frenado = MR = 2 t 2t La potencia es: 2 2 MR ω P = τ ω = 2t Siendo M =180 kg, R = 4,5 m, rev 2π rad rad ω = 3, 2 = 6, 4π , s rev s t = 18 s. 2 2 ( 180)( 4, 5) ( 6, 4π ) P = = 40889,73 W 2( 18) Como 1 hp = 735,5 W P = 55,6 hp 2 Ejemplo 31. Se sujeta una masa M a una cuerda ligera enrollada alrededor de una rueda de momento de inercia I y radio R. Hallar La tensión de la cuerda, la aceleración y su velocidad después de haber descendido una distancia h desde el reposo. Resolver desde el punto de vista de energía. 1
Cuerpo rígido Hugo Medina Guzmán Solución. Por el principio de conservación de la energía Etotal = constante Al inicio del movimiento toda la energía es potencial, si consideramos como nivel cero el indicado en la figura (a). Ei = Mgh La energía final es pura energía cinética, de la nasa M con velocidad v antes de chocar y el disco con momento de Inercia I con velocidad angular ω = v R , figura (b). 1 2 1 2 2 2 E f = Mv + Iω = 2 v ⎛ 1 ⎞ = ⎜ M + 2 ⎟ 2 ⎝ R ⎠ Como E i = E f 2 v ⎛ 1 ⎞ Mgh = ⎜ M + 2 ⎟ 2 ⎝ R ⎠ 2 2M y v = gh 2 M + 1 R 2M ⇒ v = gh 2 M + 1 R 1 2 Mv 2 + 2 1 ⎛ v ⎞ I⎜ ⎟ 2 ⎝ R ⎠ Ejemplo 32. Resolver la máquina le Atwood utilizando Conceptos de trabajo y energía, Solución. 19 Las masas M1 y M2 inicialmente están en reposo en la posición y = 0 , después de soltarlas una sube y la otra baja como muestra la figura. Las masas estarán moviéndose con velocidad v la Polea tendrá una velocidad angular ω . Como no hay rozamiento por la conservación de la energía 1 2 E E = 1 2 1 2 0 = + M 1v + M 2v + 2 2 1 2 Iω + M1gy − M 2gy 2 v 1 2 Siendo ω = , I = MR , tenemos: R 2 1 ⎛ M ⎞ 2 ⎜ M 1 + M 2 + ⎟v = ( M 1 − M 2 )gy 2 ⎝ 2 ⎠ 2 2( M 1 − M 2 ) ⇒ v = gy ⎛ M ⎞ ⎜ M 1 + M 2 + ⎟ ⎝ 2 ⎠ Para un movimiento uniformemente acelerado 2 v = 2ay Comparando: ( M 2 − M 1 ) a = M + M + M 2 ( ) g 2 1 Ejemplo 33. Una canica sólida uniforme de radio r parte del reposo con su centro de masa a una altura h sobre el punto más bajo de una pista con un rizo de radio R. La canica rueda sin resbalar. La fricción de rodamiento y la resistencia del aire son despreciables. a) ¿Qué valor mínimo debe tener h para que la canica no se salga de la pista en la parte superior del rizo? (Nota: r no es despreciable en comparación con R.) b) ¿Qué valor debe tener h si la pista está bien lubricada, haciendo despreciable la fricción?
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