CAPÍTULO 7. Cuerpo rígido - Biblioteca

More documents

Recommendations

Info

Cuerpo rígido Hugo Medina Guzmán ⇒ α = 1 LMg 2 1 2 ML 3 = 3 2 g L Para calcular la aceleración lineal del extremo de la barra, usamos la ecuación at = αL . Reemplazando α : 3 at = Lα = g 2 Ejemplo 4. Una esfera rueda sobre una barra, con sección en forma de U, inclinada. Determinar la aceleración. Solución. Las fuerzas que actúan sobre la esfera son el peso, P, la reacción normal del plano, R, y la fuerza de rozamiento Ff. Como la reacción R y el rozamiento Ff están aplicados en el eje instantáneo de rotación no realizan ningún torque, sólo el peso: = , siendo ( ) 2 1 2 2 h = r − b τ hmg senθ El momento de inercia de la esfera con relación al eje instantáneo de rotación es 2 5 2 I = mr + mh 2 Aplicando la ecuación fundamental de la dinámica de rotación: τ hmgsenθ hgsenθ α = = = I + 2 2 2 2 ( 2mr / 5 + mh ) ( 2r / 5 h ) la aceleración lineal será: a = α h a = 2 h gsenθ = gsenθ 2 2 2 2 ( 2r / 5 + h ) ( 2r / 5h + 1) 6 2 2 2 5( r b ) gh = 2 2 ( 7r − 5b ) − senθ Ejemplo 5. Se tiene un disco de masa M y radio R, que pueda girar libremente alrededor de un eje que pasa por su centro. Se enrolla una cuerda alrededor del disco, se tira la cuerda con una fuerza F. Si el disco está inicialmente en reposos ¿Cuál es su velocidad al tiempo t? Solución. El momento de inercia del disco con respecto al eje es: 1 2 I = MR 2 La dirección de la cuerda siempre es tangente al disco por lo que el torque aplicado es: τ = FR Como τ = Iα τ Tenemos α = I Reemplazando FR 2F α = = 1 2 MR MR 2 Siendo α constante ω = ω0 + αt 2F Como ω 0 = 0 ⇒ ω = αt = t MR Ejemplo 6. Se sujeta una masa M a una cuerda ligera enrollada alrededor de una rueda de momento de inercia I y radio R. Hallar La tensión de la cuerda, la aceleración y su velocidad después de haber descendido una distancia h desde el reposo. Solución. La figura siguiente muestra los diagramas de cuerpo libre.
Cuerpo rígido Hugo Medina Guzmán Aplicando la segunda ley de Newton a la masa M Mg − T = Ma (1) Aplicando la segunda ley de Newton para rotación al disco TR = Iα , a como a = Rα ⇒ α = R a 2 TR = I o TR = Ia (2) R Resolviendo (1) y (2) obtenemos M a = g , 2 M + I R 2 I R = M + I R T 2 Mg Siendo un movimiento con aceleración constante 2 2 v = v + 2as 0 Conocemos: a , 0 = 0 2Mg = M + I R 2 v 2 v , s = h : h 2Mg ⇒ v = h 2 M + I R Ejemplo 7. Un anillo de 5 cm de radio, grosor despreciable y densidad 1,6 g/cm, se pone en rotación alrededor de un diámetro cuando se le comunica un momento angular de 7900 g cm 2 /s. a) Hallar la expresión analítica y el valor numérico del momento de inercia respecto del eje de giro. b) ¿Con qué velocidad angular empieza a girar? c) Si el rozamiento con el aire y los pivotes origina un par de fuerzas cuyo torque es de 50 dina cm, ¿cuál será la ecuación del movimiento que efectúa el anillo?, ¿cuánto tiempo tarda en pararse? (Nota 1 N = 10 5 dinas) Solución. 7 a) Por el teorema de las figuras planas, tenemos que: Iz = Ix + Iy ; Además por simetría Ix = Iy, Por tanto I z 1 2 1 2 3 I x = = ρ LR = ρ( 2πR) R = πρR 2 2 1, 6. 10 2 0, 05 = ( )( ) 3 1 − π = 6,28x10 -5 kg m 2 b) Al comunicarle un momento angular L = 7,9 x10 -4 kg m 2 /s, −4 L 7, 9 × 10 ω 0 = = −5 I 6, 28× 10 = 12,58 rad/s c) τ = 50 dina cm = 50x10 -5 Nx10 -2 m = 5x10 -6 N m Por lo tanto la ecuación del movimiento en términos angulares será: θ 1 + 2 t ω = 12, 6 − 0, 079t 2 = θ0 + ω0t α = Siendo ω = 0 para t = 158 s. 12, 6 t 2 t − 0, 0398 , y Ejemplo 8. Maquina de atwood tomando en cuenta la polea. La polea es un disco de masa M y radio R. La figura muestra los diagramas de cuerpo libre de cada una de las partes de la máquina de atwood.
Page 1 and 2: Cuerpo rígido Hugo Medina Guzmán
Page 5: Cuerpo rígido Hugo Medina Guzmán

CAPÍTULO 7. Cuerpo rígido - Biblioteca

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?