CAPÍTULO 7. Cuerpo rígido - Biblioteca

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Cuerpo rígido Hugo Medina Guzmán ⎛ 15 ⎞ W f 1 = −τ f Δθ = −3⎜ ⎟ = - 112,5 J ⎝ 0, 4 ⎠ Movimiento sin la cuerda 1 2 W f 2 = − I Oω O 2 Trabajo total 1 = − 5, 0 12 2 2 = − W f d) = W f 1 + W f 2 = −482, 5J = I α ∑ τ O O τ f I O ( )( ) 360 FR − α ⇒ 31 , 5( 0, 4) − 3, 0 = 5, 0α ( ) 31, 5 0, 4 − 3, 0 rad ⇒ α 1 = = 1, 92 5, 0 s Por otra parte ω0 12 ω o = α1t1 ⇒ t 1 = = = 6, 25 s α1 1, 92 Movimiento sin la cuerda = I α − 3 = 5α ∑ τ O O ⇒ 2 3 rad ⇒ α 2 == − = −0, 6 5 s 0 = ω + α t 0 2 2 − ω0 −12 ⇒ t 2 = = = 20s α 2 − 0, 6 El tiempo total es 26,25 s Ejemplo 54. Una rueda tiene un radio de 0,40 m y se monta en cojinetes sin fricción. Un bloque se suspende de una cuerda que se enrolla en la rueda. La rueda se libera de reposo y el bloque desciende 1,5 m en 2,00 segundos. La tensión en la cuerda durante el descenso del bloque es 20 N. a) ¿Cuál es la masa del bloque? b) ¿Cuál es el momento de inercia de la rueda? Solución. a) 1 2 h = at 2 ⇒ 2 2 h 2 1, 5 a = = t 2 ( ) ( ) 2 32 m = 0 , 75 2 s mg − T = ma T 20 ⇒ m = = g − a 9, 8 − 0, 75 = 2,21 kg b) a 0, 75 α = = R 0, 4 rad = 1 , 875 2 s ∑ τ O = I Oα ⇒ TR = I Oα TR 20( 0, 4) ⇒ I O = = α 1, 875 2 = 4 , 27 kg m Ejemplo 55. El radio de una rueda de 3,0 kilogramos es 6,0 centímetros. La rueda se suelta del reposo en el punto A en un plano inclinado 30°. La rueda gira sin deslizar y se mueve 2,4 m al punto B en 1,20s. a) ¿Cuál es el momento de inercia de la rueda? b) ¿Cuál es la aceleración angular de la rueda? Solución. a) ( )( ) 2 2 1 1 I O = mR = 3kg 0, 06m 2 2 = 0,0054 kg m 2 b) mgsen 30º −Ff = ma F R = I α ⎛ I O ⎞ ⇒ F f = ⎜ ⎟α ⎝ R ⎠ ⎛ IO ⎞ mgsen 30º −⎜ ⎟α = mRα ⎝ R ⎠ mgsen30º 3( 9, 8)( 0, 5) ⇒ α = = ⎛ IO ⎞ 0, 0054 ⎜ ⎟ + mR + 3 0, 06 ⎝ R ⎠ 0, 06 14, 7 rad = = 54, 4 2 0, 27 s f O ( ) Ejemplo 56. Una masa de 20 kg se halla sobre un plano inclinado 30º, con el que tiene un rozamiento cuyo coeficiente vale 0,3, unida a una cuerda sin masa e inextensible que pasa por una polea de MP = 160 kg, cuyo radio geométrico es de 20 cm y radio
Cuerpo rígido Hugo Medina Guzmán de giro rg = 15 cm. De dicha cuerda pende una masa de 40 kg que es abandonada libremente. Calcular: a) Aceleración con que se mueve el sistema. b) Tensiones en la cuerda. c) ¿En qué rango de valores de la masa que pende, el sistema estará en equilibrio? 2 Momento de inercia de la polea Mr I = . Solución. a) Partiendo de la suposición de que la masa colgante acelera hacia abajo, plantearemos las tres ecuaciones correspondientes al movimiento de las tres masas: m2g - T2 = m2a T1 − m1gsen θ + μm1g cosθ = m1a , 2 a T2 R − T1R = Iα = M Prg R Sumando las tres ecuaciones siguientes g − T = m a , m0 2 2 T1 − m1gsen θ + μm1g cosθ = m1 2 rg T2 T1M P ⎟ a ⎟ ⎛ ⎞ − ⎜ ⎜ ⎝ R ⎠ Obtenemos: m 2 g − m1gsenθ + μm1g cosθ 2 ⎡ ⎛ r ⎤ g ⎞ = a⎢m1 + m2 + M P ⎜ ⎟ ⎥ ⎢⎣ ⎝ R ⎠ ⎥⎦ m2 − m1senθ + μm1 cosθ ⇒ a = g 2 ⎛ rg ⎞ m1 + m2 + M P ⎜ R ⎟ ⎝ ⎠ 40 −10 − 5, 2 = g 2 ⎛ 15 ⎞ 60 + 160⎜ ⎟ ⎝ 20 ⎠ = 1,62 m/s 2 b) T2 = m2 ( g − a) = 327 N, 2 rg T1 T2 R ⎟ a ⎟ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎝ ⎠ = 181 N. c) El valor mínimo que hace que la masa m2 acelere hacia abajo se produce cuando a = 0, es decir: m = m θ + μm cosθ 2 1sen 1 P a g 33 = 10 + 5,2 = 15,2 kg. Si la masa m2 se hace aún menor, llegará un momento en que será arrastrada por m1. Esto produciría una inversión en el sentido de la fuerza de rozamiento. El valor máximo de m2 deberá cumplir ahora: m = m θ + μm cosθ 2 1sen 1 = 10 – 5,2 = 4,8 kg. Por tanto, entre 0 y 4,8 kg el sistema acelerará de modo que m2 suba; entre 4,8 y 15,2 kg, permanecerá en equilibrio; y para más de 15,2 kg m2 acelerará hacia abajo. Ejemplo 57. ¿Porqué una esfera que rueda se detiene? En esta parte vamos a tratar de explicar la resistencia al rodamiento. La figura siguiente muestra una esfera de masa M y radio R la cual está rodando con una velocidad angular ω y avanza con una velocidad v = ωR . Solución. La fuerzas que actúan sobre la esfera son el peso Mg 1a reacción del piso N y la fuerza de fricción F . Si aplicamos la segunda ley de Newton a la f traslación. → → F f = M g → → debe haber una aceleración a y v decrecería. Si aplicamos segunda ley de Newton a la rotación. RF = I f CMα la aceleración angular α depende de Ff. por consiguiente Ff actúa incrementando ω . En resumen: en traslación Ff. acelera, en rotación Ff. desacelera, esto aparentemente es una contradicción. Por otra parte Mg y N están en la línea vertical que por el centro de masa y no causan efecto en el
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