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I.E.S. Ana Mª Matute Velilla de San Antonio Especialmente útil y frecuente es la descomposición de vectores en la dirección de los ejes cartesianos X e Y, la descomposición se hace igual que en el caso anterior, pero es especialmente sencilla. Y a r y a r X r r a = r + ax ay a r x La terminología para las componentes de a r , a r x primera y última vez a fin de evitar futuras confusiones. y a r y será usada así, aquí por 6.- Componentes cartesianas de un vector Vector unitario es un vector de módulo (longitud) igual a 1 Definimos unos vectores unitarios en las direcciones de los ejes X e Y y sentido positivo de dichos ejes. Estos vectores unitarios los llamaremos i r y j r , y en función de ellos se puede expresar cualquier vector contenido en el plano XY, en dos dimensiones. Veamos un par de ejemplos: Y r 2 ⋅ j r j i r r r r a = 3 ⋅ i + 2 ⋅ j a r b r r r r b = −2 ⋅i + 4⋅ j 3 ⋅ i r X − 2 ⋅ i r i r X Y 4 ⋅ r j j r 6
I.E.S. Ana Mª Matute Velilla de San Antonio Los números que multiplican a los vectores unitarios i r y j r son las componentes cartesianas de los vectores a r y b r , se suelen representar como a x , a y , etc., de forma que cualquier vector c r puede escribirse como: r r r c = cx ⋅ i + cy ⋅ j en nuestros ejemplos: a x = 3 , a y = 2 b x = -2 , b y = 4 Las componentes cartesianas de un vector son números (escalares), y como tales pueden ser enteros, fraccionarios o decimales, positivos o negativos. Los signos de las componentes de un vector nos indican su orientación, así si la componente ‘x’ de un vector es positiva el vector estará situado en el primer o cuarto cuadrante, y si la componente ‘y’ es positiva estará en el primer o segundo cuadrante, a la inversa si son negativas. 7.- Expresión de las operaciones con vectores en función de las componentes cartesianas Cuando tenemos los vectores expresados en función de sus componentes cartesianas es especialmente sencillo operar con ellos, basta con seguir las reglas siguientes, que pueden deducirse gráficamente con gran facilidad. SUMA RESTA Sean r r r r r r a = ax ⋅ i + ay ⋅ j y b = bx ⋅i + by ⋅ j r r r r a + b = ( ax + bx) ⋅i + ( ay + by) ⋅ j r r r r a − b = ( ax − bx) ⋅i + ( ay − by) ⋅ j r r r λ ⋅a = λ ⋅ ax ⋅i + λ ⋅ay ⋅ r r r − a = −ax ⋅i − ay ⋅ j PRODUCTO POR UN ESCALAR ( ) ( ) j VECTOR OPUESTO Las componentes cartesianas proporcionan también un método sencillo para calcular el módulo (longitud) de un vector, ya que aplicando el teorema de Pitágoras a cualquiera de los ejemplos anteriores deducimos fácilmente la siguiente expresión: (representaremos el módulo de un vector encerrando dicho vector entre unas barras verticales, similares a las del valor absoluto, el significado sin embargo de estas barras es claramente distinto a las de valor absoluto, y distinguiremos entre unas y otras por la flechita que llevarán encima los vectores cuando se trate del módulo de un vector) MÓDULO DE UN VECTOR r a = + + 2 2 a x a y Obsérvese que el módulo de un vector es un número siempre positivo, que cumple alguna propiedad que puede parecer curiosa a primera vista, pero que es evidente cuando se reflexiona un poco, por ejemplo: r r r r a + b ≤ a + b En la anterior expresión el signo de igualdad será válido únicamente si los dos vectores tienen la misma dirección y sentido. 7
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