x - ies ana maría matute

I.E.S. Ana Mª Matute 

FÍSICA 

Y 

QUÍMICA 

4º E.S.O.

Índice 

1. Cálculo vectorial ................................................................ 1 

2. Cinemática........................................................................ 10 

3. Dinámica del punto material ............................................. 21 

4. Estática de fluidos............................................................. 30 

5. Trabajo y energía.............................................................. 38 

6. Calorimetría ...................................................................... 49 

7. Formulación química inorgánica....................................... 62 

8. Estequiometría ................................................................. 71

I.E.S. Ana Mª Matute Velilla de San Antonio 

CÁLCULO VECTORIAL 

1.- TIPOS DE MAGNITUDES FÍSICAS 

Existen en la naturaleza varios tipos de magnitudes físicas. Se suele distinguir 

entre unas y otras, por el número de datos que es necesario conocer, sobre dicha 

magnitud, para que quede perfectamente definida. Por vivir en un espacio de tres 

dimensiones (largo, ancho y alto), el número de datos que es necesario conocer 

para determinar cualquier magnitud física, es siempre una potencia de tres, es decir, 

3 n donde n es un número natural incluyendo el cero. 

Los nombres que reciben las magnitudes físicas son los siguientes: 

Nº de datos Nombre de la magnitud 

si n=0 3 0 =1 Escalar (Tensor de orden cero) 

si n=1 3 1 =3 Vector (Tensor de orden uno) 

si n=2 3 2 =9 Tensor de orden dos 

si n=3 3 3 =27 Tensor de orden tres 

…… …. …………………. 

Durante el presente curso (de hecho hasta llegar a la universidad) sólo se 

manejarán escalares y vectores. El manejo de las magnitudes escalares es ya 

conocido, son las magnitudes que precisan de un único número (y unidad) para ser 

conocidas, aunque un físico preferirá siempre referirse a ellas por el nombre que 

hemos dado, podríamos llamarlas también magnitudes numéricas. Son magnitudes 

escalares, por ejemplo: masa, densidad, tiempo, temperatura, energía, etc. 

Centraremos, por tanto, nuestro estudio durante el presente tema las 

magnitudes vectoriales. Son magnitudes vectoriales, por ejemplo: fuerza, velocidad, 

aceleración, etc. 

2.- Vectores. Tipos vectores. 

Los vectores los representaremos gráficamente mediante un segmento 

orientado (flecha) y los simbolizaremos mediante una letra latina con una flechita 

encima. 

a r 

En ocasiones, sobre todo en matemáticas, es necesario utilizar el vector que 

une dos puntos (por ejemplo A y B) dicho vector se simboliza 

A 

AB 

B 

1


Los tres datos que precisa una magnitud vectorial pueden darse de varias maneras, 

una de las más habituales es dar módulo, dirección y sentido, y opcionalmente, el 

punto de aplicación, hacia el final del tema se verá otra forma de dar estos datos. 

Módulo de un vector es la intensidad de la magnitud física que representa. La 

longitud de la flecha debe ser proporcional al módulo del vector, así por ejemplo, la 

velocidad de un objeto que se mueva a 80 Km/h, debe representarse con una flecha 

doble de larga que, la de otro objeto que se mueva a 40 Km/h. 

Dirección de un vector es la dirección en la que se aplica la magnitud física. Se 

indica dando una recta y la flecha debe estar contenida en ella. Señalar que, por 

ejemplo, las rectas norte-sur y sur-norte son exactamente la misma, por lo que es 

necesario dar otro dato. 

Sentido de un vector es uno de los dos posibles dentro de la recta indicada por la 

dirección del vector. Se indica mediante la punta de flecha. 

Para dar de forma completa la velocidad de un coche deberemos decir, por 

ejemplo, se mueve a 80 Km/h (módulo), por la carretera de Burgos (dirección), hacia 

Madrid (sentido). Aún así, esta descripción de la velocidad puede ser incompleta, ya 

que no dice nada del punto en el cual se encuentra el vehículo, o lo que es lo mismo, 

de donde se debe dibujar el vector, éste es el punto de aplicación. 

Los vectores pueden clasificarse de tres maneras distintas, dependiendo de la 

importancia que en física tenga, para un vector concreto el punto de aplicación. 

Vector ligado: es aquel que está ineludiblemente unido a su punto de aplicación. 

Vector deslizante: es aquel cuyo punto de aplicación se puede considerar 

cualquiera de la recta que lo contiene. 

Vector libre: es aquel cuyo punto de aplicación puede ser cualquier punto del 

espacio. 

Resaltar que para dar un punto de aplicación son necesarios otros tres datos, 

ya sea dando las coordenadas del punto, como suele hacerse en matemáticas, o 

dando el vector de posición como suele hacerse en física, de este vector se hablará 

más adelante. Por lo tanto, si el vector con el que se está tratando es un vector 

ligado, será necesario dar dos vectores, o lo que es lo mismo seis datos. 

3.- Suma de vectores (composición). 

La suma de dos vectores es otro vector, que se obtiene a partir de los 

originales por aplicación de la regla del paralelogramo. 

Esta regla consiste en obtener el vector suma gráficamente, para lo cual se 

hace coincidir el punto de aplicación de los dos vectores, por el extremo de cada 

vector se traza una recta paralela al otro vector, finalmente se une el punto de 

aplicación de los vectores con el punto de corte de las rectas trazadas, y ese es el 

vector resultante. 

2


a r 

r r 

a + b 

b r 

Otra opción, que evidentemente produce el mismo resultado pero que puede 

ser especialmente útil en caso de necesitar sumar varios vectores, es colocar el 

segundo vector a continuación del primero, el vector suma se obtiene entonces 

uniendo el principio del primer vector con el final del segundo. 

a r 

b r 

r r 

a + b 

Resta de vectores: para decir como de restan dos vectores empezaremos por definir 

opuesto de un vector: es otro vector de igual módulo, igual dirección y sentido 

opuesto. Lo 

r 

representaremos 

r 

anteponiendo el signo menos al vector. 

(opuesto de b = −b 

) 

b r 

− b r 

Tiene ahora perfecto sentido la siguiente expresión que nos sirve de definición: 

r r r r 

a − b = a + ( −b) 

obsérvese que la expresión anterior, que parece trivial si se tratase de números, no 

lo es en el caso de vectores, antes no sabíamos cómo restar vectores y ahora sí. 

r r 

a − b 

− b r 

a r 

b r 

3


Hay una regla que suele ser útil para restar vectores, y que evidentemente 

ofrece el mismo resultado, consiste en unir el final del sustraendo con el final del 

minuendo. 

r r 

a − b 

− b r 

a r r 

a b 

r 

− 

b r 

Propiedades de la suma de vectores: 

Propiedad conmutativa: 

Propiedad asociativa: 

Elemento neutro: 

r r r r 

a + b = b + a 

s v r r r r 

a + ( b + c) 

= ( a + b) 

+ c 

r r r r r 

a + 0 = 0 + a = a 

r r r r 

a + − a = − a + a = 

Elemento opuesto: ( ) ( ) 0 r 

El elemento neutro para la suma de vectores, el vector cero ( 0 r ), es una 

abstracción matemática, y representa un vector de longitud cero, y con cualquier 

dirección y sentido; es su existencia la que permite definir el vector opuesto de uno 

dado, y por tanto la resta de vectores. 

4.- Producto de un escalar por un vector 

El producto de un escalar (λ) por un vector ( a r ) es otro vector, cuyo módulo es 

λ veces el de a r , cuya dirección es la de a r , y cuyo sentido es el de a r si λ es positivo 

y el opuesto si λ es negativo. 

a r 

− 2 ⋅a r 

2 ⋅a r 

−1 ⋅ a r 

3 ⋅a r 

1 

⋅a r 

2 

Evidentemente, y afortunadamente, se nos cumple aquí la propiedad de que 

r r 

−1 ⋅ a = −a 

, ya que de no ser así tendríamos graves problemas de consistencia con 

nuestras definiciones. 

4


Propiedades del producto de un escalar por un vector 

r r r r 

( a + b ) = λ ⋅ a + λ ⋅ b 

λ ⋅ 

r r r 

( λ + µ ) ⋅ a = λ ⋅ a + µ ⋅ a 

r r 1 ⋅ a = a 

r r 

0 ⋅ a = 0 

A Pesar de su parecido, las dos primeras propiedades no deben ser 

confundidas con la propiedad distributiva, y a que éstas afectan a elementos de dos 

tipos distintos, escalares y vectores. 

Resaltar que λ y µ son dos números reales cualesquiera, enteros, 

fraccionarios o decimales, positivos o negativos. 

5.- Descomposición de un vector 

La descomposición de vectores puede hacerse en dos o tres dimensiones. 

Puesto que durante el presente curso vamos a trabajar en dos dimensiones veremos 

también así la descomposición de vectores. En cualquier caso, hacerlo en tres 

dimensiones supone únicamente una complicación adicional en cuanto a los dibujos, 

no en cuanto a los conceptos. 

Descomponer un vector es obtener otros dos, en direcciones prefijadas, 

que sumados dan el vector inicial. 

Para descomponer un vector deberemos aplicar una especie de regla del 

paralelogramo al revés. Colocaremos el vector en el punto de intersección de las 

rectas (direcciones) dadas y trazaremos paralelas a éstas por el extremo del vector. 

r 1 

a r 

1 

a r 

a r 2 

r 2 

a r 1 y a r 2 son las componentes de a r según las direcciones r 1 y r 2 , ya que 

r r r 

evidentemente a1 + a 2 = a . 

5


Especialmente útil y frecuente es la descomposición de vectores en la 

dirección de los ejes cartesianos X e Y, la descomposición se hace igual que en el 

caso anterior, pero es especialmente sencilla. 

Y 

a r y a r X 

r r 

a = 

r 

+ 

ax ay 

a r x 

La terminología para las componentes de a r , a r 

x 

primera y última vez a fin de evitar futuras confusiones. 

y a r y será usada así, aquí por 

6.- Componentes cartesianas de un vector 

Vector unitario es un vector de módulo (longitud) igual a 1 

Definimos unos vectores unitarios en las direcciones de los ejes X e Y y 

sentido positivo de dichos ejes. Estos vectores unitarios los llamaremos i r y j r , y en 

función de ellos se puede expresar cualquier vector contenido en el plano XY, en 

dos dimensiones. Veamos un par de ejemplos: 

Y 

r 

2 ⋅ j 

r 

j 

i r 

r r r 

a = 3 ⋅ i + 2 ⋅ j 

a r 

b r 

r r r 

b = −2 

⋅i 

+ 4⋅ 

j 

3 ⋅ i r 

X − 2 ⋅ i r 

i r X 

Y 

4 ⋅ 

r 

j 

j r 

6


Los números que multiplican a los vectores unitarios 

i r y j r son las componentes 

cartesianas de los vectores a r y b r , se suelen representar como a x , a y , etc., de 

forma que cualquier vector c r puede escribirse como: 

r r r 

c = cx 

⋅ i + cy 

⋅ j 

en nuestros ejemplos: 

a x = 3 , a y = 2 b x = -2 , b y = 4 

Las componentes cartesianas de un vector son números (escalares), y como 

tales pueden ser enteros, fraccionarios o decimales, positivos o negativos. 

Los signos de las componentes de un vector nos indican su orientación, así si 

la componente ‘x’ de un vector es positiva el vector estará situado en el primer o 

cuarto cuadrante, y si la componente ‘y’ es positiva estará en el primer o segundo 

cuadrante, a la inversa si son negativas. 

7.- Expresión de las operaciones con vectores en función de las 

componentes cartesianas 

Cuando tenemos los vectores expresados en función de sus componentes 

cartesianas es especialmente sencillo operar con ellos, basta con seguir las reglas 

siguientes, que pueden deducirse gráficamente con gran facilidad. 

SUMA 

RESTA 

Sean 

r r r 

r r r 

a = ax 

⋅ i + ay 

⋅ j 

y b = bx 

⋅i 

+ by 

⋅ j 

r r r r 

a + b = ( ax 

+ bx) 

⋅i 

+ ( ay 

+ by) 

⋅ j 

r r r r 

a − b = ( ax 

− bx) 

⋅i 

+ ( ay 

− by) 

⋅ j 

r r r 

λ ⋅a 

= λ ⋅ ax 

⋅i 

+ λ ⋅ay 

⋅ 

r r r 

− a = −ax 

⋅i 

− ay 

⋅ j 

PRODUCTO POR UN ESCALAR ( ) ( ) j 

VECTOR OPUESTO 

Las componentes cartesianas proporcionan también un método sencillo para 

calcular el módulo (longitud) de un vector, ya que aplicando el teorema de Pitágoras 

a cualquiera de los ejemplos anteriores deducimos fácilmente la siguiente expresión: 

(representaremos el módulo de un vector encerrando dicho vector entre unas barras 

verticales, similares a las del valor absoluto, el significado sin embargo de estas 

barras es claramente distinto a las de valor absoluto, y distinguiremos entre unas y 

otras por la flechita que llevarán encima los vectores cuando se trate del módulo de 

un vector) 

MÓDULO DE UN VECTOR 

r 

a = + + 

2 2 

a x 

a y 

Obsérvese que el módulo de un vector es un número siempre positivo, que 

cumple alguna propiedad que puede parecer curiosa a primera vista, pero que es 

evidente cuando se reflexiona un poco, por ejemplo: 

r r r r 

a + b ≤ a + b 

En la anterior expresión el signo de igualdad será válido únicamente si los dos 

vectores tienen la misma dirección y sentido. 

7


PROBLEMAS 

v r r r r r 

1.- Dados los vectores a = 2 · i + 3· j ; b = −3· 

+ 4· j , represéntalos gráficamente, 

r r 

obtén, también gráficamente, el vector a − b y exprésalo en función de sus 

componentes. 

r r r 

r r r 

2.- Dado el vector a = −2 · i + 5· j , calcula el módulo de los vectores a, 2· a, 

-3· a, 

r r r 

5· 

a, 

− 7· a, 

10· a . Deduce una relación que permita calcular el módulo del vector λ · a r si 

se conoce el módulo de a r . 

r r r r r r r r 

3.- Dados los vectores a = −i 

− 2 · j ; b = 4· i + 2· j ; c = 4· j : 

r r r r 

A) Comprueba que 2 ·( a + b) 

= 2· a + 2· b 

r r r 

B) Comprueba que ( 2 + 3)· b = 2· b + 3· b 

r r r 

C) Calcula a , b , y c . 

r r r 

D) Calcula 3 · a − 2· 

b + c . 

r r r r 

E) Calcula 3·( 

b − a) 

+ 5·( a + c) 

r r r 

F) Calcula dos escalares λ y µ que cumplan λ · a + µ · b = c 

4.- Dibuja dos vectores de módulos 3 y 5 cuya suma tenga módulo 6. Dibuja otros 

dos vectores de módulos 4 y 5 cuya suma tenga módulo 2. 

5.- Descompón el vector en las direcciones dadas. 

6.- Dados los vectores de la gráfica: 

r r 

Obtén gráficamente el vector a + b 

y sus componentes. Comprueba que 

el resultado gráfico coincide con el 

numérico. 

b r 

Y 

a r 

X 

8


CINEMÁTICA 

Es la parte de la Física que estudia el movimiento de los cuerpos, sin 

ocuparse de las causas que lo provocan. 

1.- Sistema de referencia y vector de posición 

Si queremos estudiar el movimiento (cambio de posición) de un cuerpo, el 

primer paso, parece que debe ser, definir la manera en la que se determinará la 

posición del cuerpo, para luego poder estudiar cómo cambia esta posición. Debe 

darse, sin embargo, un paso previo, no tendría ningún sentido, por ejemplo, que 

digamos que un objeto está situado a 3 metros, si no indicamos a 3 metros de qué. 

Debemos por tanto empezar por definir el objeto, material o no, respecto del cual se 

determinará la posición y se estudiará el movimiento del cuerpo, esto es lo que en 

física se conoce como sistema de referencia. 

Un sistema de referencia es un sistema de ejes coordenados, en general tres 

ejes, aunque con frecuencia nos bastará con usar dos, o incluso uno. 

Z 

Y 

Y 

X 

X 

A la hora de afrontar el un problema de cinemática, el primer paso debe ser 

siempre dar la situación y orientación de los ejes del sistema de referencia (S.R.). No 

hay en principio limitación sobre la posición y orientación a escoger para el S.R., y 

cada persona puede escoger las que le parezca conveniente, aunque a la hora de 

dar las soluciones obtenidas, probablemente deberá indicar el S.R. utilizado pues las 

soluciones dependerán de él. Si hay sin embargo algunos consejos útiles, que 

durante el presente curso seguiremos siempre que sea posible: 

Si el móvil estudiado se mueve sobre una línea recta haremos coincidir uno de 

los ejes con dicha línea. 

Siempre que la naturaleza del problema planteado no lo desaconseje 

gravemente, orientaremos, en nuestros dibujos, la parte positiva del eje X hacia 

la derecha, y la del eje Y hacia arriba (tal como en el dibujo anterior). 

9


Si hay en realidad una limitación para la orientación de los ejes en el S.R., cuando tratemos 

con tres ejes, estos deben ser dextrógiros, sin embargo como durante el presente curso no se van a 

utilizar estos S.R., dejaremos esa precisión para otros años. 

Vector de posición es un vector que une el origen del sistema de referencia 

con el objeto estudiado. Se representa como r r , y por ser un vector de particular 

importancia en física se le hace un honor especial, y sus componentes cartesianas 

en lugar de llamarse r x y r y se llaman simplemente x e y. 

Y 

r r r 

= x ⋅ i + y ⋅ j 

y 

r 

j 

i r 

r r 

x 

X 

Si el objeto estudiado se mueve el vector de posición cambiará con el tiempo, 

y evidentemente también sus componentes x e y. Se define trayectoria seguida por 

el objeto como el conjunto de puntos que ocupa el móvil a lo largo del tiempo. Estos 

puntos coinciden con los apuntados por el extremo del vector de posición, es un 

conjunto infinito de puntos, y todos ellos forman una línea, en general curva, esta 

línea es la trayectoria. 

Y 

r r 1 

r 0 

r 2 

Trayectoria 

X 

2.- Velocidad 

Es esta la magnitud física encargada de medir lo rápidamente que cambia de 

posición un cuerpo. Podemos hacer una primera aproximación a la velocidad 

definiendo una velocidad media, de forma muy intuitiva, como el cociente entre el 

espacio recorrido y el tiempo que se ha tardado en recorrerlo. Esta magnitud no es, 

sin embargo, la que deseamos, pues nosotros necesitamos una magnitud que nos 

mida lo rápidamente que cambia de posición un objeto en cada instante, y no por 

termino medio. Nos aproximaremos a nuestro objetivo a partir de la v media definida de 

la siguiente manera: si en lugar de calcular la velocidad media en todo el recorrido, 

la calculamos en sólo una pequeña parte de él, la velocidad que obtenemos así, sin 

dejar de ser una media, será mucho más aproximada a la velocidad real que ha 

10


llevado el objeto durante esa pequeña parte del recorrido. Cuanto más pequeño sea 

el trozo de recorrido escogido más aproximada será la media calculada a la 

velocidad real. Podemos definir entonces la velocidad instantánea como la velocidad 

media calculada en una parte del recorrido infinitamente pequeña. 

1 ∆ S 

r r r 

∆ 

= 

2 − 

1 

Y 

r 1 

∆ r r 2 

2 

X 

vm 

∆S 

= 

∆t 

∆S 

v = lim 

∆t→0 

∆t 

Esta ultima definición no es aún totalmente satisfactoria, ya que aunque 

proporciona una medida de lo rápidamente que se desplaza el móvil, no dice 

absolutamente nada de la dirección y sentido en que lo hace. Podemos arreglar este 

defecto sin mas que sustituir en la ecuación ∆S por ∆ r , ya que como podemos 

apreciar en el dibujo, si ∆t tiende a cero los puntos 1 y 2 se encuentran muy 

próximos, con lo cual ∆S y ∆ r se confunden (prácticamente se superponen), y 

además ∆ r tiene la dirección y sentido apropiado. 

si ∆t 0 entonces 

∆ r = ∆S 

∆ r r es tangente a la trayectoria 

∆ r r tiene el sentido del movimiento 

En consecuencia, definiremos por fin, la velocidad mediante la siguiente 

expresión: 

La última expresión (la derivada) no la utilizaremos en el presente curso. 

3.- Aceleración 

r 

v 

r 

∆ 

= lim 

∆t→0 

∆t 

r 

dr 

= 

dt 

Es la magnitud física encargada de medir lo rápidamente que cambia la 

velocidad de un cuerpo. Seguiremos para definirla un método similar al utilizado para 

definir la velocidad. 

11


1 v r 

1 

Y 1 

r 1 

2 

r 2 

v 2 

v 2 

X 

v r 

r r 

∆ v = 

r 

v 2 − v1 

Empezamos por definir una aceleración media, que mide el cambio de la 

velocidad, por termino medio, en un cierto intervalo de tiempo ∆t, 

r 

r ∆v 

am = 

∆t 

puesto que esta aproximación en general no es satisfactoria, calculo la aceleración 

media en intervalos de tiempo cada vez más pequeños, y finalmente defino la 

aceleración instantánea, como la aceleración media calculada en un intervalo de 

tiempo infinitamente pequeño. 

r 

a = 

r 

lim a 

r 

∆v 

= lim = 

∆t→ 

∆t 

m 

∆t→0 

0 

r 

dv 

dt 

4.- Movimiento rectilíneo uniforme (M.R.U.) 

Es el movimiento de un cuerpo que se mueve siguiendo una trayectoria 

recta con velocidad constante. Resaltar, que aunque no nos importe, hay en esta 

definición una redundancia, ya que si la velocidad, como vector, es constante, la 

trayectoria necesariamente ha de ser recta, con lo cual es innecesario indicarlo. 

Para el estudio de este movimiento, y siguiendo el consejo dado 

anteriormente, situaremos el S.R. con uno de sus ejes, por ejemplo el X, 

coincidiendo con la trayectoria. Al hacerlo así todos los vectores relevantes para el 

problema quedarán situados sobre este eje. 

Y 

r 

r 

x ⋅ i 

r 

0 = 0 ∆ r = r − r 0 = ( x − x0) 

⋅i 

r 

r 

r r 

= x ⋅ i 

r 

12 

r r 

v = vx 

⋅ i 

Puesto que la velocidad es constante, es evidente que el cálculo de la 

velocidad media dará siempre el mismo resultado, independientemente del intervalo 

de tiempo en el que la calculemos, y aún cuando el intervalo de tiempo tienda a 

cero, es decir en este caso: 

r 

r r ∆ 

v = vm 

= 

∆t 

X


r r 

despejando es esta expresión ∆ 

= v ⋅ ∆t 

, sustituyendo cada vector por su valor en 

r r 

función de las componentes cartesianas tendremos: ( x − x0) 

⋅ i = vx ⋅ i ⋅ ( t − t 0) 

. En 

esta expresión podemos prescindir del vector unitario, lo cual equivale a decir que 

los dos vectores que hay a ambos lados de la igualdad, sólo pueden ser iguales si lo 

son sus componentes x (lo que multiplica a i r ), también es innecesario precisar que 

se trata de la componente x de la velocidad, puesto que es la única existente (la 

componente y vale cero), teniendo todo esto en cuenta la anterior expresión nos 

queda: 

x – x 0 = v·(t – t 0 ) 

En esta expresión habrá que tener en tener cuenta: 

‘x’ y ‘x 0 ’ son componentes del vector de posición, o lo que es lo mismo, 

coordenadas del punto en el que se encuentra el móvil, por tanto serán positivas si 

el móvil se encuentra en la parte positiva del eje X (hacia la derecha), y negativas si 

se encuentran en la parte negativa del eje X (hacia la izquierda). 

‘v’ es la componente x del vector velocidad, por tanto será positivo si el móvil se 

desplaza hacia la derecha y negativo si lo hace hacia la izquierda. 

‘t’ y ‘t 0 ’ son respectivamente el instante (hora) en el cual el móvil se encuentra 

en su posición final ‘x’, y el instante (hora) en el que el móvil se encuentra en su 

posición inicial ‘x 0 ’. La diferencia entre ambos es el tiempo transcurrido. 

Es frecuente encontrarse la ecuación anterior escrita de la forma: 

x – x 0 = v·t 

no hay una diferencia real entre las dos expresiones, ya que en este último caso la 

‘t’ representa el tiempo que transcurre desde que el móvil pasa de la posición inicial 

a la final, por lo que coincide con el valor de t – t 0 en la expresión anterior. 

Nosotros utilizaremos una u otra expresión indistintamente, según nos 

convenga. 

5.- Gráficas x-t y v-t en el M.R.U. 

Las gráficas v-t y x-t son especialmente fáciles de dibujar en este caso, 

basta con tener en cuenta que puesto que la velocidad es constante, no cambia con 

el tiempo, con lo cual la gráfica v-t debe ser una recta horizontal. 

13


V 

v 

V 

t 0 

t 

t 

v 

t 0 t t 

móvil desplazándose en el sentido 

positivo del eje X (hacia la derecha) 

móvil desplazándose en el sentido 

negativo del eje X (hacia la izquierda) 

Para dibujar la gráfica x-t basta con darse cuenta de que la ecuación del 

M.R.U. implica una relación lineal entre ‘x’ y ‘t’, con lo cual estas gráficas serán, 

efectivamente lineales: 

X 

X 

X 

x 

x=x 0 

x 0 

x 

x 0 

t 0 t t 

Móvil desplazándose hacia 

la derecha (aumentando x) 

t o t t 

Móvil en reposo (x no 

cambia) 

t 0 t t 

Móvil desplazándose hacia la 

izquierda (disminuyendo x) 

6.- Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (M.R.U.A.) 

Es el movimiento de un cuerpo que se mueve siguiendo una trayectoria 

recta con aceleración constante. 

Igual que hicimos en el M.R.U., al ser la trayectoria recta situaremos nuestro 

sistema de referencia con uno de sus ejes coincidiendo con la trayectoria, entonces 

todos los vectores que intervienen en el problema quedan sobre dicho eje. 

Y 

r 

r 

x ⋅ i 

r r 

r r 

v 0 = v0x 

⋅ i 

v = vx 

⋅i 

r 

r 

r 

0 = 0 ∆ r = r − r 0 = ( x − x0) 

⋅ i a = ax 

⋅ i 

r r 

= x ⋅i 

r 

r 

r 

r r r 

∆ v = v − 

X 

v 0 

14


Puesto que la aceleración es constante, la aceleración media, calculada en 

cualquier intervalo de tiempo, dará siempre el mismo resultado, aún cuando el 

intervalo de tiempo tienda a cero, es decir, en este caso: 

r 

r r ∆v 

a = am 

= 

∆t 

r r r 

desarrollando los incrementos y despejando v − v 0 = a ⋅ ( t − t 0) 

, integrando esta 

r r r 1 r 

2 

ecuación (cosa que haremos otro año) obtenemos: 

− 

0 = v 0 ⋅ ( t − t 0) 

+ a ⋅ ( t − t 0) 

2 

expresamos ahora cada vector en función de sus componentes cartesianas, 

eliminamos el vector unitario, que aparece en todas las expresiones, y los 

innecesarios subíndices x, pues ya se sabe que todos los vectores están sobre el eje 

X, y nos queda: 

v = v 0 + a·(t – t 0 ) 

x – x 0 = v 0·(t – t 0 ) + ½ a·(t – t 0 ) 2 

Combinando estas dos ecuaciones se puede obtener una 3ª en la que se han 

eliminado los tiempos, ésta es: 

téngase en cuenta que ésta última no ves 2 = una v 2 0 nueva + 2·a·(x ecuación, – x 0 ) sino una combinación 

de las anteriores, luego no puede pretenderse utilizar estas ecuaciones para resolver 

un sistema con tres incógnitas. 

Igual que se hizo con el M.R.U. puede, si así se prefiere, sustituir ‘t – t 0 ’ , 

instante final menos inicial, por tiempo transcurrido, ‘t’ , con lo que las ecuaciones 

anteriores se reescribirán de la forma: 

v = v 0 + a·t 

x – x 0 = v 0·t + ½ a·t 2 

v 2 = v 0 2 + 2·a·(x – x 0 ) 

Tanto en este caso, como en el del M.R.U. es costumbre hacer coincidir con 

la trayectoria el eje X si ésta es horizontal, o el eje Y si la trayectoria es vertical, en 

este segundo caso, las ecuaciones que se obtienen son exactamente las mismas, 

pero sustituyendo las ‘x´s ’ por ‘y´s ’. 

7.- Gráficas x-t , v-t y a-t en el M.R.U.A. 

Empezaremos por la gráfica a-t, la más sencilla. Si suponemos el móvil 

desplazándose hacia la derecha, entonces una aceleración positiva (hacia la 

derecha), implica que el móvil incrementa su velocidad cada unidad de tiempo en 

una cantidad igual a la aceleración. Una aceleración negativa implicará, por el 

contrario, una disminución de la velocidad. 

15


a 

a 

a 

t 0 

t 

t 

t 0 t t 

a 

Aceleración positiva: 

velocidad aumentando 

Aceleración negativa: 

Velocidad disminuyendo 

Si por el contrario, el móvil estuviese desplazándose hacia la izquierda (v 

negativa), una aceleración positiva implicaría una disminución de la velocidad (en 

módulo) y viceversa. 

Para dibujar las gráficas v-t, observamos que según la 1ª ecuación del M.R.U.A., 

hay una relación lineal entre velocidad y tiempo, con lo cual las correspondientes 

gráficas serán también lineales. 

V 

v 

V 

v 

v 0 

v 0 

t 0 t t 

Móvil desplazándose hacia la derecha 

(v positiva) 

velocidad aumentando 

(a positiva) 

t 

Móvil desplazándose hacia la derecha 

(v positiva) 

velocidad disminuyendo 

(a negativa) 

En cuanto a las gráficas x-t para dibujarlas observaremos que la 2ª ecuación 

del M.R.U.A. que relaciona posición y tiempo, es una ecuación de 2º grado, con lo 

que las correspondientes gráficas han de ser parábolas. 

16


X 

x 

X 

x 

X 

x 0 

x o 

t 

t 0 

t 

Móvil alejándose hacia la 

derecha, pero cada vez 

más despacio (v positiva, a 

negativa, frenando) 

x 0 

t 0 

t 

Móvil alejándose hacia la 

derecha, cada vez más 

deprisa (v positiva, a 

positiva, acelerando) 

t 

x 

t 0 t 

Móvil acercándose desde la 

derecha, cada vez más 

despacio (v negativa, a 

positiva, frenando) 

t 

8.- Movimientos no rectilíneos 

Parece bastante intuitivo que las ecuaciones obtenidas para el M.R.U. y para 

el M.R.U.A. han de poder adaptarse al caso de movimientos con velocidad constante 

(en módulo), o con velocidad (en módulo) variando uniformemente, pero con 

trayectoria no rectilínea. Esta adaptación efectivamente, puede hacerse, pero no 

está libre de algunas complicaciones bastante notables, por lo que no la haremos de 

momento. Simplemente, cuando afrontemos un problema con movimiento no 

rectilíneo, supondremos que “estiramos la carretera”, lo cual no dará ninguna ventaja 

a los ladrones para escapar de la policía, ni hará que adelantemos o retrasemos 

nuestra hora de llegada del viaje. En definitiva, todas las magnitudes interesantes 

para la resolución de nuestro problema seguirán siendo las mismas, sea la 

trayectoria rectilínea o no. 

PROBLEMAS 

1.- Dos coches con velocidades 72 Km/h y 90 Km/h, separados inicialmente 90 m, se 

dirigen uno hacia el otro. Calcula la distancia que los separa al cabo de: 1 s, 2 s, 3 s, y 

4 s. sol: 45 m; 0 m; 45 m; 90 m. 

2.- De un cruce de carreteras perpendiculares salen dos coches, uno a 15 m/s y otro a 

20 m/s. Calculas la distancia que los separa al cabo de: 1 s, 2 s, 3 s y 4 s. 

sol: 25 m; 50 m; 75 m; 100 m. 

3- Un coche de ladrones sale del banco a 120 Km/h. 0,5 h mas tarde sale en su 

persecución un coche de policías a 150 Km/h. Calcula el tiempo que tardan en 

alcanzar a los ladrones y el punto en que los alcanzan. 

sol: 2 h; 300 Km. 

17


4.- Un tren viajando a 72 Km/h rebasa a un observador quieto en el andén. En ese 

momento un pasajero hace rodar una pelota en la dirección del movimiento del tren 

con velocidad 10 m/s. Calcula, respecto del observador, la velocidad de la pelota y su 

posición al cabo de 0,5 s si: 

a) La pelota se lanza en el mismo sentido de avance del tren. 

b) La pelota se lanza en sentido contrario. 

sol: 30 m/s, 15 m; 10 m/s, 5 m. 

5.- Un nadador pretende cruzar un río de 30 m de ancho nadando a 1 m/s 

directamente hacia la orilla opuesta. Si el río tiene una corriente de 18 Km/h, calcula: 

a) La velocidad del nadador respecto de la orilla. 

b) Tiempo en alcanzar la orilla opuesta. 

c) Distancia total recorrida por el nadador. 

sol: 5,1 m/s; 30 s; 153 m. 

6.- Un tren entra en una estación con velocidad 64 Km/h. ¿Cuál es el valor de la 

deceleración si desde que se aplican los frenos hasta que el tren se detiene recorre 

aún 150 m. 

Sol: -1,05 m/s 2 . 

7.- Un coche se dirige a velocidad constante de 90 Km/h hacia una pared. Cuando se 

encuentra a 100 m de ella, el conductor toca el claxon. ¿A qué distancia de la pared se 

encuentra cuando oye su eco? 

Dato: v s = 340 m/s sol: 86,3 m 

8.- ¿Con qué velocidad se debe lanzar una piedra hacia arriba si se desea que suba 

hasta 45 m de altura?. ¿En qué instante se encontrará la piedra a 40 m de altura y que 

velocidad llevará entonces?. ¿Cuánto tiempo tarda la piedra en volver a caer al suelo?. 

sol: 30 m/s ; 2 s y 4 s ; 10 m/s y -10 m/s ; 6 s 

9.- Desde un globo que se encuentra a 10 m de altura y subiendo con velocidad 18 

Km/h se deja caer una piedra. Calcula el tiempo que tardará en llegar al suelo y la 

velocidad con la que se estrellará contra éste. 

sol: 2 s ; -15 m/s 

10.- Un ciclista al salir acelera a 0,1 m/s 2 durante 2 min, después mantiene su 

velocidad constante durante 5 min, momento en el que pincha, permanece 5 min 

reparando el pinchazo y decide volver a su casa, para lo que acelera a 0,1 m/s 2 

durante 1 min, manteniendo la velocidad constante el resto del camino. Calcula la 

distancia total recorrida por el ciclista y el tiempo que ha estado fuera de casa. Calcula 

todos los datos que necesites para ello y dibuja las gráficas x-t, v-t y a-t 

correspondientes al movimiento del ciclista. 

sol: 8640 m ; 29.5 min 

11.- Desde una torre de 45 m de altura se deja caer una piedra. Calcula el tiempo que 

tarda en llegar al suelo y la velocidad en Km/h con la que se estrellará contra éste. 

Supón que a 24 m de altura está la base de una ventana de 1 m de alto; una persona 

que estuviese mirando hacia la ventana ¿durante cuánto tiempo vería pasar la piedra?. 

sol: 3 s; 108 Km/h; 0,05 s 

18


12.- 

12 

V(m/s) 

La gráfica adjunta representa el movimiento 

de un cuerpo que parte del origen de 

coordenadas. Calcula su posición a los 8 s y 

dibuja la gráfica a-t correspondiente. 

sol: 90 m. 

t(s) 

6 10 

13.- Desde una ventana situada a 25 m de altura se lanza una piedra verticalmente 

hacia arriba con velocidad 72 Km/h. Calcula : 

a) La altura máxima hasta la que subirá. 

b) El tiempo que tardará en llegar al suelo y la velocidad con la que se estrellará 

contra éste. 

sol: 45 m; 5 s, -30 m/s. 

14.- Un grifo que se encuentra a 80 cm del suelo esta goteando a razón de una gota 

cada 0,2 s. Calcula la distancia que separa las gotas en el momento en que la primera 

llega al suelo. 

Sol: 60 cm y 20 cm. 

15.- Una persona corre a 8 m/s hacia un autobús. Cuando se encuentra a 40 m de 

éste el autobús arranca con aceleración 1 m/s 2 . ¿Alcanzará al autobús?. Sugerencia: 

Supón que sí le alcanza y calcula el instante en que lo hará. 

sol: NO. 

16.- Calcula la profundidad de un pozo si desde que se deja caer una piedra hasta que 

se la oye golpear contra el fondo pasan 3 s. 

Dato: v sonido = 340 m/s. Sol: 41,4 m. 

17.- Un ratón se dirige hacia un ama de casa con velocidad 6 m/s. Cuando se 

encuentra a 5 m de ella la mujer arranca huyendo del ratón con aceleración 2 m/s 2 . 

¿Cuánto tiempo tarda el ratón en alcanzar a la mujer?. ¿Con qué aceleración mínima 

hubiera debido arrancar el ama de casa para no ser alcanzada?. 

Sol: 1s ; 3,6 m/s 2 . 

18.- Sujeto mediante una cuerda al techo de un ascensor y a 1.5 m del suelo de éste 

hay un objeto. Cuando el ascensor arranca con aceleración 2 m/s 2 la cuerda se rompe. 

¿Cuanto tiempo tarda el objeto en golpear contra el suelo?. 

Sol: 0,5 s. 

19.- Desde lo alto de una torre de 50 m de altura se deja caer una piedra y 

simultáneamente se lanza otra verticalmente hacia arriba desde su base con velocidad 

20 m/s. Calcula la altura a la que se cruzan las piedras, el tiempo que tardan en 

cruzarse y la velocidad de cada una en ese momento. 

Sol: 18,75m ; 2.5 s; -25 m/s, -5 m/s. 

19


DINÁMICA DEL PUNTO MATERIAL 

Dinámica es la parte de la física que estudia el efecto que, sobre el 

movimiento de los cuerpos, tienen las fuerzas. 

Punto material es un objeto sin dimensiones (tamaño cero) pero con 

masa. El motivo de definir y estudiar el punto material es el de simplificar, si el objeto 

estudiado no tiene dimensiones no se verá afectado de rotaciones, y no será 

necesario estudiar éstas, que quedarán para un tema de Dinámica de Rotación en 

años futuros. La limitación puesta en este tema no es excesiva, ya que en la 

práctica, todo lo que aquí estudiemos es válido para objetos extensos, con la única 

condición de que no roten. 

1.- Leyes de Newton 

Toda la dinámica clásica (previa a Einstein) se basa en las leyes de la 

dinámica que Newton formuló en el siglo XVII. Hay además una cuarta ley de 

Newton, que también veremos en este tema, pero que se estudia por separado, 

pues en lugar de ser una ley general sobre dinámica, estudia una fuerza particular. 

Estas tres leyes de Newton son en realidad principios, pues son 

indemostrables, son sencillas y son la base sobre la que sobre la que sustenta la 

dinámica, y buena parte de la Física en general. Todas ellas tienen en consecuencia 

un sobrenombre que hace referencia a su condición de principio. 

1ª Ley de Newton o Principio de Inercia. 

Toda partícula libre se mueve con M.R.U. 

Partícula libre es aquella que no está sometida a ninguna fuerza, o bien la 

suma de las fuerzas aplicadas a ella es cero. 

Resaltar que una partícula que se mueve con velocidad constantemente igual 

a cero (no se mueve) es un caso particular del M.R.U. y por tanto está incluida en la 

1ª ley. 

En una terminología más vulgar, podríamos enunciar la 1ª ley diciendo que, si 

a una partícula no le hacemos nada, seguirá igual, si estaba quieta seguirá quieta, y 

si se estaba moviendo seguirá moviéndose en línea recta y con velocidad constante. 

Esta ley, que hoy puede parecer evidente y sencilla, no lo ha sido siempre, y 

de hecho hubiese sido categóricamente rechazada por los antiguos griegos, que 

pensaban que: si a un objeto en movimiento no se le hace nada, se parará al cabo 

de cierto tiempo. Esta objeción, y otras parecidas que se pueden hacer, son debidas 

a la dificultad para estudiar en la naturaleza una partícula realmente libre, en 

particular, desvinculada de la fuerza de rozamiento, que es la que confundía a los 

antiguos griegos. 

20


2ª Ley de Newton o Principio Fundamental de la Dinámica. 

La suma de las fuerzas aplicadas a un cuerpo es proporcional a la aceleración 

que producen en él, siendo la masa del cuerpo el coeficiente de 

proporcionalidad. 

Esta ley puede resumirse mediante una expresión vectorial, que 

descompondremos en componentes, que es la forma habitual en que se suele 

utilizar. 

∑ 

r r 

F = m ⋅ a 

∑ 

∑ 

F 

F 

x 

y 

= m⋅ax 

= m⋅ay 

La masa que aparece en esta expresión es conocida como masa inercial, ya 

que es una medida de la inercia del objeto; hay que hacer mucha más fuerza para 

provocar la misma aceleración en un objeto grande (con mucha masa), que en otro 

pequeño (con poca masa), es decir, para modificar su estado de reposo o de M.R.U. 

La definición de masa inercial la haremos precisamente a partir de esta ley: 

Masa inercial es el coeficiente de proporcionalidad entre la fuerza que se aplica 

a un cuerpo y la aceleración que se produce en él. 

Fuerza es todo agente capaz de modificar el estado de movimiento o reposo de 

un cuerpo o de deformarlo. Es precisamente el efecto deformador de las fuerzas el 

que proporciona un método cómodo y sencillo para medirlas, como veremos más 

adelante en la ley de Hooke. 

Como se comprueba fácilmente la 1ª ley de Newton se puede considerar 

como una consecuencia de la 2ª, ya que: 

si ∑ F r = 0 r 

r 

entonces 0 r 

a = , ⇒ M.R.U. 

3ª Ley de Newton o Principio de Acción y Reacción 

Si un cuerpo ‘A’ ejerce una fuerza sobre otro ‘B’ (acción), entonces ‘B’ ejerce 

otra fuerza sobre ‘A’ (reacción), de igual módulo, igual dirección, y sentido 

opuesto. 

Si llamamos F r 

AB a la fuerza que ejerce A sobre B, entonces esta ley puede 

resumirse en la expresión: 

r 

= − 

FAB FBA 

Suele encontrarse esta expresión escrita como que, la suma de ambas 

fuerzas es cero, lo cual aún siendo completamente correcto desde un punto de vista 

matemático, suele conducir a errores, ya que ambas fuerzas normalmente no se 

suman por aplicarse a cuerpos distintos. 

r 

21


Resaltar que ambas fuerzas son exactamente iguales en cuanto a módulo, y 

que su aparición es simultánea. 

2.- Ley de Hooke 

Esta ley relaciona la fuerza ejercida sobre un sólido elástico con la 

deformación sufrida por este. Aunque esta ley puede aplicarse a todo tipo de 

cuerpos elásticos se aplica principalmente al caso de muelles o resortes. 

La fuerza deformadora que se aplica a un resorte es directamente proporcional 

a la deformación (alargamiento o compresión) que produce. 

Podemos expresar esta ley matemáticamente de la siguiente manera: si 

suponemos el eje X alineado con el resorte: 

Y ∆ x = x − x0 

x 0 

∆ x 

x 

F r 

r r 

F = K ⋅∆x 

⋅i 

X 

Donde F r es la fuerza con la que tiramos del muelle, ∆x 

es el alargamiento y K 

es la constante elástica del muelle, que mide la dureza del mismo. También es 

frecuente encontrar esta ley escrita de la forma: 

r r 

F = −K 

⋅ ∆x 

⋅i 

Donde en este caso F r es la fuerza que ejerce el muelle para intentar 

recuperar su forma inicial, que es, evidentemente, de igual módulo, igual dirección y 

sentido opuesto a la anterior. 

Indicar que la elasticidad de los cuerpos tiene siempre un límite. Si 

sobrepasamos ese límite la ley de Hooke deja de ser válida y produciremos una 

deformación permanente. 

3.- Algunas fuerzas de interés 

Peso 

Es la fuerza con la que la Tierra (u otro cuerpo celeste) 

atrae un objeto. 

peso 

= 

r 

p 

suelo 

22


Podemos calcular su valor muy fácilmente, si suponemos un cuerpo 

inicialmente en reposo, y sometido únicamente a la acción de su peso, según 

sabemos dicho cuerpo caerá con una aceleración igual a la de la fuerza de la 

gravedad, por tanto aplicando la 2ª ley de Newton tendremos: 

r r 

F = m ⋅ a 

∑ 

Resaltar que p r tendrá la misma dirección y sentido que g r , y por tanto será 

vertical y hacia abajo (hacia el centro del cuerpo celeste). 

Normal 

r 

p 

r 

= m ⋅ g 

Es la fuerza que aparece que aparece entre dos 

superficies en contacto y que impide la 

penetración de los cuerpos. Es siempre 

perpendicular a las superficies en contacto y tiene 

el sentido de impedir la penetración. La normal es 

la fuerza con que se aprietan una contra otra las 

dos superficies. 

N r N r 

Tensión 

Tensión es la fuerza que ejerce una cuerda en 

unión de dos cuerpos. Lleva la dirección de la 

cuerda y el sentido de tirar (una cuerda nunca 

puede empujar, sólo tirar). Si se trata de una 

cuerda ideal (inextensible y sin masa), la tensión 

es la misma (en módulo) en todos los puntos de 

la cuerda. 

T r 

T r 

Fuerza de rozamiento 

v r 

F r 

r 

Es la fuerza que aparece entre dos 

superficies en contacto y que se opone al 

deslizamiento de una superficie sobre otra. 

Lleva la dirección del deslizamiento, o de la 

tendencia de éste, y sentido opuesto. 

Distinguiremos dos casos: 

a) fuerza de rozamiento estática 

cuando las dos superficies están en reposo una respecto de otra, ya que las fuerzas 

que tienden a producir el deslizamiento son insuficientes para vencer la fuerza de 

rozamiento. En este caso la fuerza de rozamiento toma el valor justo y necesario 

para compensar las otras fuerzas existentes, con un valor máximo (en módulo) dado 

por: 

v r 

Fr, 

e ≤ µ e N 

23


N r 

es la normal, fuerza con que se aprietan una contra otra las dos superficies 

µ e es el coeficiente de rozamiento estático, cuyo valor depende del material del 

que estén hechos los objetos. 

Las superficies se mantendrán en reposo, una respecto de otra, mientras las 

fuerzas que tienden a desplazarlos no superen el valor máximo de la fuerza de 

rozamiento estática, en el momento en que esto ocurra se iniciará el deslizamiento y 

comenzará a actuar la… 

b) fuerza de rozamiento dinámica 

es la que aparece cuando hay deslizamiento de una superficie respecto de la otra, 

en este caso la fuerza de rozamiento lleva la dirección del desplazamiento y sentido 

opuesto, y su módulo tiene un valor fijo dado por: 

v r 

Fr, 

d = µ d N 

µ d es el coeficiente de rozamiento dinámico, cuyo valor depende del material del 

que están hechos los objetos. 

Siempre ocurre que µ e > µ d , sin embargo, la diferencia entre ambos 

coeficientes suele ser pequeña, por lo que si no se indica lo contrario se supondrá 

que son iguales. 

4.- Ley de la Gravitación Universal de Newton 

La fuerza que se ejerce entre dos masas puntuales es directamente proporcional a 

las masas, inversamente proporcional a la distancia que las separa, lleva la dirección 

de la recta que las une y, es siempre atractiva. Como demostró en su momento 

Gauss, esta ley es válida también para cuerpos de forma esférica, o una esfera y un 

punto, en ese caso, la distancia que figura en la ley es entre los centro de las 

esferas. La ley será también aproximadamente válida para cuerpos irregulares si la 

distancia entre los cuerpos es mucho mayor que sus dimensiones. 

r m1 

⋅ m2 

r 

F1 ,2 

= −G 

⋅u 

2 1,2 

r1,2 

cuerpo 1 

F r 1,2 

cuerpo 2 

u r 1,2 

r 1,2 

24


Donde : 

F r Fuerza que ejerce 1 sobre 2 (la ejerce 1 y la sufre 2) 

1,2 

u r 1,2 

Vector unitario en el sentido de 1 hacia 2 

2 

−11 

N ⋅ m 

G constante de gravitación universal, de valor G = 6,67 ⋅10 

2 

Kg 

Podremos aplicar esta ley al caso de un cuerpo situado sobre la superficie 

terrestre, ya que uno de los cuerpos es esférico, y el otro de dimensiones mucho 

menores que la distancia que los separa (el radio de la Tierra). 

En este caso, y operando con módulos 

para mayor sencillez, tenemos: 

r M 

T 

⋅ m 

F = G 

2 

RT 

r r 

p = m ⋅ g 

e igualando nos queda: 

r M 

T 

g = G 

2 

RT 

Sustituyendo los valores y operando, 

r m 

obtenemos: g = 9,8 

s 

2 

r 

F 

= 

r r 

p = m ⋅ g 

R 

T 

PROBLEMAS 

1.- Comenta la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones: 

a) La relación entre la fuerza con la que se tira de un muelle y el alargamiento 

producido es una relación lineal de proporcionalidad directa. 

b) Si un coche se mueve por una carretera curva, con velocidad constante (en 

módulo), es que la resultante de las fuerzas aplicadas a él es cero. 

c) Si sobre un cuerpo que se encuentra en movimiento no se ejercen fuerzas, este se 

detiene al cabo de un cierto tiempo. 

d) La fuerza de acción es siempre ligeramente superior a la de reacción, pues si no 

fuese así ambas se anularían y sería imposible provocar movimientos. 

e) Cuando lanzamos una piedra verticalmente hacia arriba, en el punto más alto de 

su trayectoria se encuentra en equilibrio. 

f) La Tierra y una manzana se atraen entre sí con fuerzas exactamente igual de 

intensas. 

2.- Un coche de masa 1000 Kg, inicialmente en reposo, acelera uniformemente 

hasta alcanzar una velocidad de 108 Km/h tras recorrer 150 m. Calcula el valor de la 

fuerza total ejercida sobre él. 

Sol: 3000 N. 

25


3.- Un cuerpo de masa 5 Kg, que se encuentra deslizando sobre una superficie 

horizontal, con velocidad 10 m/s, se detiene por efecto del rozamiento al cabo de 20 

s. Calcula la fuerza de rozamiento que le ha detenido y el valor del coeficiente de 

rozamiento. 

Sol: 2,5 N; 0,05 

4.- Un cuerpo de masa 50 Kg se encuentra en reposo, sobre una superficie 

horizontal, con la que los coeficientes de rozamiento estático y dinámico son 

respectivamente 0,3 y 0,2. Calcula la fuerza de rozamiento y la aceleración a la 

que se encuentra sometido cuando lo empujamos con una fuerza de: 

a) 80 N Sol: 80 N; 0 m/s 2 

b) 120 N Sol: 120 N; 0 m/s 2 

c) 160 N Sol: 100 N; 1,2 m/s 2 

d) 200 N Sol: 100 N; 2 m /s 2 

5.- Calcula el “peso aparente” de una persona de masa 70 Kg que se encuentra 

sobre una báscula en el interior de un ascensor que: 

a) sube con aceleración 2 m/s 2 Sol: 840 N; 84 Kp 

b) sube con aceleración 1 m/s 2 Sol: 770 N: 77 Kp 

c) baja con aceleración 2 m/s 2 Sol: 560 N; 56 Kp 

d) baja con velocidad constante Sol; 700 N; 70 Kp 

expresa el resultado en Newtons y Kilopondios. 

6.- Se empuja horizontalmente un cuerpo de masa 20 Kg con una fuerza de 50 N, 

provocando en él una aceleración de 2 m/s 2 . Calcula el valor de la fuerza de 

rozamiento que actúa y del coeficiente de rozamiento. 

Sol: 10 N; 0,05 

7.- Una nave espacial de masa 10.000 Kg, cuando está viajando con una velocidad 

de 30.000 Km/h, pone en funcionamiento sus motores de frenado durante 2 min., 

con lo que reduce su velocidad a 27.300 Km/h. Calcula la fuerza de frenado, 

supuesta constante. 

Sol: 6,25·10 4 N 

8.- De un muelle de 20 cm de longitud situado verticalmente, se cuelga un cuerpo de 

masa 400 g, estirándose el muelle hasta los 25 cm. Calcula la constante elástica del 

muelle y el alargamiento sufrido por él al colgar un cuerpo de masa 1000 g. 

Sol: 80 N/m 12,5 cm 

9.- Un niño de masa 8 Kg se encuentra de pie sobre el suelo y colgado de un muelle 

de constante elástica 300 N/m. Si el muelle está estirado 20 cm, ¿cuál es el peso 

aparente del niño? (fuerza con la que se apoya contra el suelo). Expresa el resultado 

en Newtons y Kilopondios. 

Sol: 20 N = 2 Kp 

10.- Calcula la fuerza de atracción, de tipo gravitatorio, a la que se encuentran 

sometidas dos personas, de masas 70 Kg y 50 Kg separadas 1 m. Supón que puede 

aplicarse la Ley de Gravitación Universal. 

Sol: 2,33·10 -7 N 

26


11.- Calcula la fuerza neta a la que se encontraría sometido un objeto de masa 2 

toneladas que se encontrase a 50 millones de km de la Tierra, a 100 millones de Km 

del Sol, y alineado con ellos. Calcula el punto en que se debería encontrar el objeto 

para estar en equilibrio. Datos: M Sol =2·10 30 Kg, M Tierra =6·10 24 Kg 

Sol: 26,68 N, 1,497·10 11 m 

12.- Calcula la atracción gravitatoria que ejerce la Luna sobre un cuerpo de masa 10 

Kg que se encuentra sobre la superficie terrestre. 

Datos: r Tierra-Luna = 384.400 Km, M Luna =7,38·10 22 Kg Sol:3,33·10 -4 N 

13.- Calcula la aceleración de la gravedad en la superficie de la Luna. 

Datos: M Luna = 1 81 

MTierra , R Luna = 3 11 RTierra Sol: g 1 

Luna ≈ 

6 g Tierra 

14.- Calcula el valor de todas y cada una 

de las fuerzas, que actúan sobre cada 

uno de los cuerpos de la figura, sabiendo 

que el conjunto se mueve con aceleración 

2 m/s 2 , y que el coeficiente de rozamiento 

entre estos y el suelo es µ=0,1. 

F r 

5 Kg 

3 Kg 

suelo 

2 Kg 

suelo 

15.- Dos niños tienen dos juguetes 

idénticos. El primero lo empuja por el 

suelo, con velocidad constante, con una 

fuerza que queda 30º por debajo de la 

horizontal, el segundo tira de él con una 

fuerza que queda 30º por encima de la 

horizontal. Razona cual de los dos está 

haciendo más fuerza. 

1º 2º 

suelo 

16.- Dos caballos, uno en cada orilla de un río, remolcan contracorriente y mediante 

cuerdas una balsa que va por medio del río con velocidad constante. La corriente 

ejerce sobre la balsa una fuerza de 4000 N, y las cuerdas forman ángulos de 30º y 

60º con la dirección de la corriente. Razona que caballo está haciendo más fuerza. 

Calcula la fuerza ejercida por cada caballo. 

Sol: 3464 N; 2000 N 

16.- Un bloque de masa 5 Kg se encuentra sobre una mesa horizontal con la que 

roza con coeficiente de rozamiento 0,2 y unido mediante una cuerda que pasa por 

una polea a otro cuerpo de masa 2 Kg que cuelga. Calcula la aceleración de los 

cuerpos y la tensión de la cuerda. 

17.- Dos cuerpos están unidos mediante una cuerda que pasa por una polea. Ambos 

cuerpos cuelgan verticalmente. Obtén una expresión que dé la aceleración con la 

que se moverán los cuerpos en función de su masa. Calcula la aceleración si la 

masa de uno es doble de la del otro. 

m1 

− m2 

1 

Sol: a = ⋅ g a = ⋅ g 

m + m 

3 

1 

2 

27


ESTÁTICA DE FLUIDOS 

Estudio de los fluidos en equilibrio. 

Fluido: sustancia que puede cambiar de forma con gran facilidad 

(líquidos o gases). 

Aunque el tema hace referencia a fluidos en general, resaltar que hay partes 

específicas para líquidos, y otras para gases. 

1.- Presión 

Magnitud física que mide el efecto deformador o rompedor de las fuerzas. 

Es evidente que el efecto deformador de una fuerza no sólo depende de la 

intensidad (módulo) de la misma, veamos un ejemplo. 

Si apretamos fuertemente una mano contra la pared, difícilmente 

provocaremos una deformación, si lo conseguiremos sin embargo si apretamos 

contra la pared una chincheta, ¿cuál es la diferencia?. Concluimos que el efecto 

deformador que provocamos será mayor, cuanto mayor sea la fuerza aplicada, y 

cuanto menor sea la superficie sobre la que se aplica. 

Definimos entonces presión a partir de la siguiente expresión 

que cumple los requisitos antes mencionados. 

UNIDADES 

La unidad de presión será unidad de fuerza entre unidad de superficie. 

N 

m 

Por tanto en el S.I. [ P ] = Pascal = Pa 

= 

2 

Existe otra unidad de presión de uso frecuente, es el 

Kp 

cm 

Kp 9,8 N 10000 cm 

= 1 ⋅ ⋅ 

2 

2 

cm 1Kp 1m 

P = 

r 

F 

cm 

N 

= 98000 

m 

2 

1 

2 2 

= 

S 

Kp , y su relación con el Pa es la siguiente: 

2 

98000 Pa 

2.- Presión en el interior de los líquidos 

Un líquido es un fluido incompresible. Podemos imaginarlo como un conjunto 

de bolas (las moléculas del líquido), que se encuentran prácticamente en contacto y 

deslizándose unas sobre otras. 

28


Existe sin embargo una diferencia sustancial con la imagen mental que nos 

podemos hacer de un cajón lleno de canicas, en nuestro caso las moléculas del 

líquido están moviéndose continuamente, con una velocidad media que depende de 

la temperatura a la que se encuentre el líquido. 

La presión que ejerce un líquido está provocada por el peso de las moléculas 

que lo componen, de forma que una molécula situada a cierta profundidad es 

empujada (presionada) hacia abajo por el peso de todas las que tiene encima. 

La presión sin embargo no hace 

fuerza únicamente hacia abajo, sino en 

todas direcciones. La fuerza ejercida por la 

presión es normal (perpendicular) a 

cualquier superficie en contacto con el 

líquido. La bola de la segunda fila presiona 

a las de la primera, esto acaba 

traduciéndose en una fuerza perpendicular a 

las paredes verticales. 

aire 

F r 1 h 1 

mg 

r 

F r 2 

agua 

Para calcular la presión hidrostática 

(ejercida por un líquido), supondremos 

una pequeña porción de líquido encerrado 

dentro de un cilindro, de paredes muy 

finas y sin masa. Este cilindro estará en 

equilibrio, flotando entre dos aguas y en 

posición vertical. Por estar en equilibrio la 

suma de fuerzas aplicadas a él debe ser 

cero, aplicando esto en dirección vertical 

tendremos: 

F 2 – F 1 – m·g = 0 

como F 2 = P 2·S 

F 1 = P 1·S 

m = V·d V=S·(h 2 -h 1 ) 

h 2 

P 2 – P 1 = d·g·(h 2 – h 1 ) 

Sustituyendo todos estos valores: 

P 2·S - P 1·S - S·(h 2 -h 1 )·d·g = 0 

Simplificando y reordenando nos quedará: 

que es la ecuación fundamental de la hidrostática, y que nos da la diferencia de 

presión entre dos puntos cualquiera de un líquido. Destacar que según se deduce de 

esta ecuación todos los puntos a la misma profundidad están a la misma presión. 

Si en esta ecuación consideramos que el punto superior está en la superficie 

libre del líquido, y llamamos a este punto con subíndice cero y al otro con ninguno, 

nos quedará: 

P = P 0 + d·g·h 

29


que nos da la presión en cualquier punto del líquido, en función de la profundidad a 

la que se encuentra respecto de la superficie libre, y siendo P 0 la presión sobre dicha 

superficie libre del líquido (normalmente la presión atmosférica), y dgh la presión 

debida al líquido, presión hidrostática. 

3.- Principio de Pascal 

La presión ejercida sobre un punto cualquiera de un líquido en reposo se 

transmite íntegra e instantáneamente a todos los puntos del líquido. 

Pascal demostró espectacularmente este 

principio rompiendo un barril con una pequeña 

cantidad de agua. Una pequeña masa de agua 

introducida en un tubo largo y fino aumenta 

considerablemente la presión en el interior del barril 

y acaba reventando éste. 

Una aplicación del principio de Pascal es la 

prensa hidráulica, que consiste en dos cilindros 

comunicados y de secciones diferentes llenos con un 

líquido, la presión ejercida sobre uno de los cilindros 

se transmite al otro 

S 1 S 2 

= 

F 

⇒ 

S 

1 

P 1 P2 

= 

1 

F 

S 

2 

2 

con lo que la fuerza ejercida en la superficie de cada cilindro es proporcional a su 

superficie. 

4.- Principio de Arquímedes. 

Todo cuerpo sumergido, total o parcialmente, en un fluido experimenta un 

empuje vertical y hacia arriba igual al peso del fluido que desaloja. 

El empuje es evidentemente una fuerza, ya que es igual a un peso, el del 

fluido desalojado. 

Esta ley que fue enunciada por Arquímedes como principio, consiguió 

demostrarse posteriormente, por lo que pasó a la categoría de teorema. Nosotros 

haremos una demostración simplificada con un cuerpo regular, pero el resultado es 

válido para cualquier cuerpo. 

30


Supongamos un prisma sumergido en líquido, el empuje es provocado por la 

diferencia de presión entre sus caras superior e inferior. 

E = F 2 – F 1 = P 2·S – P 1·S 

E = d líquido·g·S·(h 2 – h 1 ) 

F 1 

h 1 

F 2 

h 2 

E = Peso fluido desalojado 

E = d líquido·g·V líquido desalojado 

E = m líquido desalojado·g 

Si la densidad del sólido sumergido es menor que la del fluido, y se encuentra 

totalmente sumergido, el peso del sólido es menor que el empuje, por lo que al soltar 

el cuerpo subirá y flotará, asomando parte de él fuera del fluido. Por el contrario si la 

densidad del sólido es mayor que la del fluido, su peso es mayor que el empuje y se 

hundirá, no flota. 

Cuando un cuerpo se encuentra sumergido en un fluido aparenta pesar 

menos de su peso real, esta es debido al empuje, podemos definir el peso aparente 

de un cuerpo sumergido mediante la siguiente expresión: 

Peso aparente = Peso real - Empuje 

5.- Presión atmosférica 

Los gases, y entre ellos la atmósfera, también ejercen presión sobre los 

cuerpos sumergidos en su interior y sobre las paredes de los recipientes que los 

contienen, esta presión es debida a las colisiones de las partículas de gas contra 

cualquier superficie y es normal a la superficie. En el siglo XVII Torricelli ideó un 

experimento para medir la presión ejercida por la atmósfera. Consiste en llenar un 

tubo largo de mercurio, taparlo darle la vuelta, introducir la parte tapada en un 

recipiente con mercurio y destapar. Parte del mercurio contenido en el tubo cae 

creando una zona de vacío en la parte superior del tubo, se mide entonces la altura 

de mercurio que queda en el tubo sobresaliendo del recipiente. 

31


aire 

Hg 

h=0,76 m 

Puesto que la presión en todos los puntos de un líquido 

que se encuentran al mismo nivel tiene que ser la 

misma, escogemos un punto en la superficie del 

recipiente y otro al mismo nivel pero en el interior del 

tubo. La presión en el primer punto es la atmosférica, 

mientras que en el segundo como se encuentra a cierta 

profundidad P 0 = d Hg·g·h sustituyendo los valores 

obtenemos: 

P 0 = 101300 Pa 

UNIDADES 

Es frecuente utilizar como unidad de presión la atmósfera (atm.) que definimos mediante: 

1 atm = 101300 Pa 

también se utiliza como unidad de presión el milímetro de mercurio (mm de Hg), cuya relación con la 

atmósfera es evidentemente: 

1 atm = 760 mm de Hg 

y utilizando la relación anterior 

1 

atm 

760 

1 101300 Pa 

atm · 

760 1atm 

1 mm de Hg = = 

= 133 Pa 

6.- Leyes de los gases perfectos 

Gases ideales o perfectos: son gases formados por partículas de tamaño cero y 

sin interacción (fuerzas) entre ellas. 

Estos gases en la práctica no existen, pero podrán ser considerados como tales 

aquellos en los que las dimensiones de las partículas sean despreciables frente a la 

distancia media que las separa, y con una interacción suficientemente pequeña. Se 

pueden considerar como gases ideales todos aquellos que se encuentren 

suficientemente alejados de sus condiciones (presión y temperatura) de ebullición. 

Las leyes que rigen el comportamiento el de los gases perfectos son de carácter 

experimental y pueden resumirse mediante las siguientes fórmulas, ya expresadas 

forzosamente con la temperatura en la escala absoluta (ºK). 

V0 V 

Ley de Gay-Lussac: Si P=cte. = = cte. 

T T 

P0 P 

Ley de Charles: Si V=cte. = = cte. 

T T 

Ley de Boyle-Mariotte Si T=cte. P 0 

• V 0 

= P • V = cte. 

Las tres leyes están expresadas, naturalmente, en el supuesto de estamos 

trabajando en todo momento con la misma cantidad (nº de moles) de gas. 

0 

0 

32


Combinando adecuadamente estas tres ecuaciones podemos obtener la 

Ecuación de estado de los gases perfectos: 

P0 • V0 

P • V 

= = cte. 

T T 

0 

Puesto que la anterior ecuación es válida para cualquier cantidad fija de un gas 

perfecto, podemos calcular el valor de la constante que en ella aparece para 1 mol de 

gas en condiciones normales, a dicha constante se le llama constante de los gases 

perfectos y su valor es: 

atm· 

l J 

R = 0 .082 = 8,31 

mol·º 

K mol·º 

K 

El valor de la constante es independiente, según las leyes anteriores, de las 

condiciones en las que se calcule. Si en lugar de para un mol se calcula para n moles, 

el volumen y por tanto la constante será n veces mayor, con lo cual la ecuación puede 

ser reescrita poniendo: 

P· 

V 

para n moles 

= n· 

R o en su forma habitual 

T 

P·V = n·R·T 

PROBLEMAS 

1.- 

a) ¿Por qué se usan raquetas para andar por la nieve? 

b) ¿Por qué cortan mejor los cuchillos afilados? 

c) ¿Cuál es la única condición necesaria para que un sólido flote en un líquido? 

d) ¿Qué pesa más en el aire, 1 Kg de madera o 1 Kg de plomo? 

e) ¿Por qué Torricelli escogió mercurio para su experimento? 

f) ¿Qué le pasa al volumen de un gas si duplicamos su temperatura (en grados 

Kelvin) y triplicamos la presión? 

2.- Mediante un elevador hidráulico, cuyo émbolo mayor tiene una sección de 1500 

cm 2 , deseamos elevar un peso de 60000 N. ¿Cuál debe ser la sección del émbolo 

menor para que podamos hacerlo aplicando una fuerza de 200 N. 

Sol: 5 cm 2 

3.- Calcula la longitud mínima que debería tener un tubo de vidrio para repetir con él 

el experimento de Torricelli utilizando agua. 

Sol: 10,34 m. 

33


4.- Calcula la presión hidrostática en el fondo de la fosa de las Marianas a 11,5 Km 

de profundidad. Expresa el resultado en Pa, atm, y Kp/cm 2 . Calcula la fuerza que se 

ejercería sobre una mirilla circular de 10 cm de radio a esa profundidad. 

Dato: d agua mar =1030 Kg/m 3 

Sol: 1,16·10 8 Pa, 1146 atm, 1185 Kp/cm 2 ; 3,65·10 6 N 

5.- Calcula la fuerza que es necesario realizar para abrir una escotilla circular de 30 cm 

de diámetro de un submarino que se encuentra a 100 m de profundidad. 

Sol: 72800 N 

6.- Unos objetos, A, B, C y D, están totalmente sumergidos en agua dulce. 

Completa la siguiente tabla: 

Masa (Kg) Volumen (m 3 ) Densidad (Kg/m 3 ) Empuje (N) 

A 250 O,2 

B 1000 2000 

C 4000 24500 

D 900 392 

7.- Calcula la densidad del hielo, sabiendo que de un iceberg asoma fuera del agua 9 

1 

del volumen total. Dato: d agua mar =1030 Kg/m 3 

Sol: 916 Kg/m 3 

8.- La masa de la cesta, aparejos y pasaje de un globo aerostático suma 500 Kg. 

Calcula el volumen mínimo de aire caliente que debe encerrar el globo para 

elevarse. Datos: d aire frio =1,3 Kg/m 3 , d aire caliente = 1,2 Kg/m 3 

Sol: 5000 m 3 

9.- Un trozo de corcho de forma cúbica se encuentra flotando en agua. Calcula la 

fracción de arista que asoma fuera del agua. Dato: d corcho = 0,4 g/cm 3 

3 

Sol: = 60 % 

5 

10.- Un gas se encuentra a 27 ºC ocupando un volumen de 5 l cuando la presión 

ejercida por el gas es 3 atm. Si se expande hasta un volumen de 10 l, disminuyendo 

la presión a 1 atm., ¿cuál es la temperatura final del gas?. 

Sol: -73 ºC 

11.- En una bombona de 12 litros hay oxígeno a 1,4 atm. y 310 ºK. Halla: 

a) el número de moles de oxígeno. 

b) la densidad del oxígeno en esas condiciones. 

Dato: M(O) = 16 uma 

Sol: 0,66 moles; 1,76 g/l = 1,76 Kg/m 3 

12.- Calcula el volumen que ocupan 80 g de metano (CH 4 ) a 20 o C y 740 mm de Hg. Si 

la temperatura aumenta a 40 o C, ¿cuánto ha de valer la presión para que el volumen 

se mantenga constante. 

Sol: 123 litros; 791 mm de Hg 

34


13.- Un hombre está buceando, cuando su manómetro indica 3 atm. suelta una 

burbuja de aire de 5 cm 3 , ¿cuál será el volumen de la burbuja cuando llegue a la 

superficie, donde la presión es de 700 mm de Hg?. 

Sol: 16,3 cm 3 

14.- Un globo lleno de aire tiene masa total de 8 g, y ocupa a la presión atmosférica 

un volumen de 5 l. Cuando el globo se sumerge en agua dulce a 10 m de 

profundidad, suponiendo que no cambia la temperatura, calcula: 

a) El volumen del globo. 

b) La fuerza que es necesario hacer para sujetarlo a esa profundidad. 

c) La aceleración con la que subirá el globo si lo soltamos. 

Dato: P atmosférica = 101300 Pa 

Sol: 2,52 litros; 25,12 N; 3140 m/s 2 

15.- La masa de un coche es de 1000 Kg y suponemos que esta igualmente 

repartida entre los cuatro neumáticos. Para conseguir el máximo agarre a la 

carretera el fabricante desea que la superficie de apoyo de cada rueda con el suelo 

sea de 125 cm 2 , ¿cual debe ser la presión del aire en el interior de los neumáticos 

para conseguirlo?. Expresa el resultado en Kp/cm 2 . Si el aire de las ruedas se 

calienta de 20 ºC a 60 ºC por efecto de la marcha ¿cual será entonces la superficie 

de apoyo de las ruedas?. Supón que el volumen de las ruedas prácticamente no 

cambia. 

Sol: 2 Kp/cm 2 ; 110 cm 2 

16.- Un tubo en U conteniendo mercurio se une por uno de sus extremos mediante 

una goma al interior de un recipiente rígido que contiene un gas perfecto a 57 ºC. El 

mercurio asciende 5 cm por el extremo libre de la U. Calcula la presión en el interior 

del recipiente. Bajamos la temperatura del gas hasta los 37 ºC ¿cómo queda el 

mercurio contenido en el tubo? 

Datos: P atmosférica =101300 Pa; d Hg =13600 Kg/m 3 

Sol: 108100 Pa = 860 mm de Hg; El nivel de mercurio del extremo libre 

queda 22 mm por encima del nivel del otro extremo. 

35


TRABAJO Y ENERGÍA 

1.- Trabajo 

Descripción: magnitud que mide el efecto, que sobre el desplazamiento de un 

cuerpo, tiene una fuerza. 

Resaltar la diferencia que tendrá el trabajo en física, respecto del significado 

que se suele dar a esta palabra en la vida corriente. Si empujamos con gran fuerza 

una pared haremos un gran esfuerzo y probablemente nos cansaremos, pero desde 

un punto de vista físico no hemos realizado ningún trabajo, ya que no hemos 

provocado ningún desplazamiento. 

Ya que en el trabajo influyen tanto la fuerza como el desplazamiento, nos 

sentimos tentados de definir el trabajo como el producto de estas dos magnitudes (o 

r r 

sus módulos), es decir: W = F · ∆ 

F r 

∆ r debemos resistir la tentación sin embargo, ya 

que una definición como esa no sería 

satisfactoria para el siguiente ejemplo: 

supongamos un objeto que, por razones que no 

nos importan, se está desplazando 

horizontalmente, y sobre el que aplicamos una 

fuerza vertical. Es evidente que esta fuerza no 

tiene ningún efecto sobre el 

desplazamiento del cuerpo, por tanto el trabajo realizado por dicha fuerza debe ser 

cero. Nuestra definición de trabajo debe tener también en cuenta la posibilidad de 

que la fuerza cuyo trabajo calculamos favorezca o se oponga al desplazamiento, 

probablemente distinguiendo entre una y otra posibilidad con un signo. 

Supongamos un objeto 

desplazándose en línea recta y 

sometido a fuerza constante, oblicua 

a la trayectoria, cuyo trabajo 

queremos calcular. Situaremos el eje 

X en la dirección del desplazamiento 

y descomponemos la fuerza, la 

componente ‘y’ de la fuerza no tiene 

ningún efecto sobre el 

desplazamiento del cuerpo, mientras 

que la componente ‘x’ es 

completamente efectiva para ese desplazamiento (y en este caso favorable), 

definimos entonces el trabajo realizado por la fuerza mediante la expresión: 

F x 

α 

F r 

α ángulo que forman fuerza y desplazamiento 

Y 

F y 

r r 

W = F x 

· ∆x 

= F · ∆ 

· cosα 

r r 

∆ 

= ∆x· 

i 

X 

36


destacar que, efectivamente, según esta definición el trabajo será positivo si 

favorece el desplazamiento, y negativo si se opone a él. Esta expresión se puede 

generalizar al caso de fuerzas no constantes y trayectorias no rectilíneas, pero 

requiere unas matemáticas más avanzadas. 

Podemos calcular el trabajo realizado por una única fuerza, por varias, o por 

todas las que actúen sobre un objeto, pero si queremos calcular el trabajo realizado 

por más de una fuerza tendremos dos opciones, calcular el trabajo realizado por 

cada una y sumarlos, o calcular la suma (vectorial) de las fuerzas y hallar el trabajo 

realizado por la resultante. 

La generalización al caso de que el cuerpo se mueva verticalmente es 

evidente y no insistiremos en ella. 

UNIDADES 

La unidad de trabajo, según se deduce de la fórmula anterior, será unidad de fuerza por unidad de 

longitud. 

Por tanto en el S.I. 

[W] = N · m = Julio = J 

2.- Energía y Trabajo 

Desde un punto de vista físico, se considera el universo formado por materia y 

energía, la materia es la sustancia del universo, y la energía es lo que anima a esa 

sustancia, es decir, lo que produce cambios en la materia. 

Podemos definir la energía como una capacidad, almacenada en los 

cuerpos, de producir cambios, en sí mismos o en otros cuerpos. Cuando el 

cambio se produce en el mismo cuerpo, decimos que se ha producido una 

transformación en el tipo de energía que almacena ese cuerpo, cuando un cuerpo 

provoca un cambio en otro cuerpo, decimos que se ha producido una transferencia 

de energía de un cuerpo a otro, pero siempre respetando un principio fundamental 

de la física que dice que la energía no puede crearse ni destruirse, sino sólo 

transformarse, o transmitirse de unos cuerpos a otros. 

El trabajo, como veremos más adelante, es una forma de transmisión de 

energía de unos cuerpos a otros, de manera que cuando empujamos, y 

conseguimos mover un cuerpo, lo que estamos haciendo es transmitirle parte de 

nuestra propia energía, que a partir de ese momento queda almacenada en ese 

cuerpo. La energía ganada por este cuerpo es igual al trabajo que hemos 

realizado. Esto implica evidentemente una pérdida de energía por nuestra parte, y 

deberemos reponer periódicamente nuestras reservas energéticas (comiendo) si no 

queremos agotarlas. 

Con frecuencia oímos hablar de energía perdida o de rendimientos de 

transformaciones energéticas. Hemos de escuchar estas afirmaciones con un 

espíritu abierto, ya que en ningún caso implican destrucción de energía, sólo 

transformaciones o transmisiones indeseadas de ésta. Por ejemplo, cuando 

ponemos un cazo con agua a calentar estamos transmitiendo energía del gas al 

agua, sin embargo esa transferencia no es completa, ya que no podemos evitar que 

37


también se caliente el metal del cazo y el aire de la cocina, esta energía transferida 

al cazo o al aire es lo que hemos llamado transferencia de energía indeseada (y con 

frecuencia indeseable, sobre todo en verano), pero inevitable. 

No existe, por el momento, ningún dispositivo natural o artificial capaz de 

producir estos intercambios de energía con un rendimiento perfecto. Hay de hecho 

un principio físico que afirma la imposibilidad de transformar una forma de 

energía, la energía térmica, en otras formas de energía sin “pérdidas”. 

Cuando se habla de la degradación de la energía nos referimos a este 

principio, la energía térmica decimos que esta degradada, ya que cuando otro tipo 

de energía se transforma en térmica, tenemos la seguridad de que no podrá volver a 

ser “reciclada” completamente para su aprovechamiento. 

3.- Potencia 

Descripción: magnitud física que mide lo rápidamente que se realizan trabajos. 

A diferencia de otras magnitudes físicas, el valor medio de la potencia si tiene 

una importancia notable, al menos en la vida diaria, ya que con frecuencia interesa 

más lo deprisa que se ha trabajado, por término medio, que lo rápidamente que se 

trabaja en cada instante. La potencia media será la única que manejemos este 

curso. 

Definimos potencia media mediante la expresión: 

W 

P m 

= 

t 

que relaciona el trabajo realizado con el tiempo que se ha tardado en realizarlo. 

Evidentemente, cuanto menos tiempo se tarda en hacer el trabajo mayor es la 

potencia. 

Puesto que, como dijimos en el punto anterior, el trabajo representa la 

cantidad de energía que pasa de un cuerpo a otro, la potencia puede también 

representar la rapidez con la que se transmite la energía de un cuerpo a otro. 

Si vamos a mirar los datos técnicos de alguno de nuestros electrodomésticos 

es probable que encontremos entre ellos varias potencias, seguramente potencia útil 

y potencia consumida. La potencia consumida hace referencia a la energía que por 

unidad de tiempo (por segundo) consume nuestro electrodoméstico, es la energía 

que extrae del enchufe, por tanto de la compañía eléctrica, y es la que nos van a 

cobrar a nosotros. La potencia útil es la energía por unidad de tiempo, que nuestro 

aparato realmente consigue aprovechar, ya sea transformándola en el tipo de 

energía que nos conviene, o transfiriéndola al cuerpo que nos interesa. Por ejemplo, 

si miramos una bombilla de incandescencia veremos un único dato de potencia, es 

el de potencia consumida, si este es 60 W quiere decir que cada segundo extraemos 

de la compañía eléctrica 60 julios (que nos cobrarán), sin embargo nuestra bombilla 

38


sólo consigue transformar en energía luminosa unos 3 julios cada segundo (potencia 

útil), los otros 57 se “pierden” transformándose en energía térmica, que 

probablemente no nos interesa, y que puede llegar incluso a ser molesta. 

Es por este motivo por el que cuando compremos cualquier aparato conviene 

comprobar la relación entre estas potencias, útil y consumida, y elegir el que 

presente una mejor relación, no sólo ahorraremos dinero, sino que beneficiaremos al 

medio ambiente al ahorrar energía. Son particularmente recomendables las 

bombillas de bajo consumo o los tubos fluorescentes, que multiplican hasta por ocho 

el rendimiento de las bombillas de incandescencia. 

UNIDADES 

La unidad de potencia en el S.I. será según la expresión vista: 

[P] = 

s 

J = Vatio = W 

Otra unidad de potencia de uso frecuente es el Caballo de Vapor (C.V.), cuya relación con el vatio es 

la siguiente: 

1 C.V. = 735 W 

Asociada al vatio hay otra unidad, de energía principalmente, aunque también de trabajo, es el KW·h, 

y su relación con el sistema internacional es: 

1000 W 

1KW 

3600 s 

1h 

1 KW·h = 1 KW·h · = 3.600.000 W·s =3.600.000 J 

No insistiremos más en ello, pero es evidente que, si el trabajo mide la cantidad de energía que se 

transfiere de un cuerpo a otro, energía y trabajo se medirán en la misma unidad. 

4.- Tipos de Energía 

Existen en la práctica únicamente dos tipos de energía básicos que pueden 

poseer los cuerpos, estos son la energía cinética, asociada al movimiento del 

cuerpo, y la energía potencial, asociada a la posición del cuerpo respecto de otros 

que ejercen fuerzas sobre él. Con frecuencia oímos hablar de otros tipos de energía 

que en realidad no son básicos, como la energía nuclear, que hace referencia a la 

posición (energía potencial) de unas partículas elementales (protones o neutrones) 

respecto de otras dentro de un núcleo, la energía química que hace referencia a la 

posición (energía potencial) de unos átomos respecto de otros dentro de una 

molécula, o la energía térmica que hace referencia al movimiento (energía cinética) 

de unas partículas respecto de otras. 

También se suele conocer como tipos de energía lo que en realidad son 

medios de obtención de energía, por transformación de un tipo en otro, normalmente 

energía eléctrica. Entre estas están: la energía del petróleo, la solar, hidroeléctrica, 

geotérmica, etc. 

39


5.- Energía Cinética 

Es la energía que posee un cuerpo debido a su movimiento. 

Vamos a calcular el trabajo realizado sobre una partícula por el total de las 

fuerzas que actúan sobre ella. Dadas nuestras limitaciones supondremos que la 

suma de todas las fuerzas aplicadas da como resultado una fuerza F r 

T 

que es 

constante, y que el cuerpo se mueve siguiendo una trayectoria recta, en estas 

condiciones, aplicando la 2ª ley de Newton deducimos que la aceleración también es 

constante, y por tanto el movimiento del cuerpo será M.R.U.A. Colocando el eje X en 

la dirección del movimiento tendremos: 

W T = F T · ∆x = m · a (x – x 0 ) 

y utilizando una de las ecuaciones del M.R.U.A. v 2 = v 0 2 + 2·a·(x – x 0 ) 

para despejar a (x – x 0 ) nos quedará: 

W T = ½ m v 2 - ½ m v 0 

2 

Definimos entonces la energía cinética mediante la expresión: 

y para el trabajo nos queda: 

E C = ½ m v 2 

W T = E C – E Co = ∆E C 

Que nos dice que el trabajo realizado por el total de las fuerzas aplicadas 

a un cuerpo se emplea en incrementar su energía cinética. Éste que acabamos 

de dar es el enunciado del tradicionalmente conocido como Teorema de la Fuerzas 

Vivas, aunque nosotros podemos conocerlo también, si lo preferimos, como 

Teorema de la Energía Cinética. Naturalmente, el trabajo puede ser negativo 

(cuando la fuerza total es de sentido contrario al desplazamiento), en cuyo caso se 

produce una disminución de la energía cinética. 

Esta última expresión pone de manifiesto que el trabajo actúa como 

transmisor de energía de un cuerpo a otro. En este caso de la persona o cosa que 

hace la fuerza, que pierde energía, al cuerpo que sufre la fuerza, que gana energía 

(cinética). 

6.- Energía potencial 

Es la energía que posee un cuerpo debido a la posición en la que se encuentra 

Empezar resaltando que la energía potencial está siempre asociada a cierto 

tipo de fuerzas, denominadas fuerzas conservativas, porque conservan la energía 

total (energía mecánica) de la partícula sobre la que actúan. Todas las fuerzas 

elementales de la naturaleza (gravitatorias, eléctricas,…) han resultado ser 

conservativas, por lo que tienen su energía potencial asociada, destacar sin 

40


embargo, que hay una fuerza que aparece muy frecuentemente, que no es 

conservativa, ésta es la fuerza de rozamiento, que disminuye siempre la energía 

total de los cuerpos sobre los que actúa. 

Veremos en el presente curso dos energías potenciales, estas son: 

Energía Potencial asociada al peso 

Supongamos un cuerpo, que puede 

estar sometido a varias fuerzas, pero 

calcularemos el trabajo realizado únicamente 

por una de ellas, el peso, que es una fuerza 

conservativa. Bajo la acción de las fuerzas 

que actúan sobre él, nuestro cuerpo se 

desplaza verticalmente desde la posición y 0 

hasta la posición y. 

Y 

y 

y 0 

mg 

r 

∆y=y-y 0 

En nuestro dibujo, el peso al ir hacia abajo 

tiene componente negativa, por lo que al 

sustituir en la ecuación W = F y · ∆y queda: 

suelo 

W c = -mg (y – y 0 ) 

Es costumbre en estas expresiones utilizar h (de altura) en lugar de y, si seguimos 

esta costumbre, escribiremos: 

W c = -mg (h – h 0 ) 

Definimos la energía potencial asociada al peso mediante: 

E P = mgh 

Con lo que la relación anterior nos queda: 

W c = - E P + E Po = - ∆E P 

Esta expresión a la que nunca se ha dado la importancia que tiene, es 

completamente general, válida para cualquier tipo de fuerza conservativa y cualquier 

trayectoria, la denominaremos Teorema de la Energía Potencial, y lo enunciaremos 

diciendo: el trabajo realizado por las fuerzas conservativas aplicadas a un 

cuerpo se emplea en disminuir su energía potencial. Naturalmente, puede 

ocurrir, como en nuestro dibujo, que el trabajo realizado por la fuerza sea negativo, 

en cuyo caso la E P aumenta (aumenta h). 

De este teorema podemos deducir fácilmente una conclusión importante, 

cuando el trabajo es positivo, es decir, el cuerpo se desplaza en el mismo sentido de 

la fuerza, la energía potencial disminuye, concluimos que las fuerzas 

conservativas tiran de los cuerpos siempre en el sentido de disminuir su 

energía potencial. En nuestro caso el peso tira siempre de los cuerpos en el sentido 

de disminuir la h, o sea hacia abajo, cosa que ya sabíamos. 

41


Destacar que en la expresión obtenida para la energía potencial asociada al 

peso, la ‘h’ era en realidad la coordenada ‘y’ de la posición del objeto. La libertad que 

teníamos en su momento para situar el sistema de referencia donde nos pareciese 

conveniente la seguimos manteniendo, lo que en este caso se traduce en que 

podemos fijar el origen de alturas donde queramos, la única condición será 

comunicarlo oportunamente a quien corresponda. Esto quiere decir que nosotros 

podemos decidir a que punto queremos asignar altura cero, normalmente el punto 

escogido será el suelo, pero no tiene que ser así, si lo preferimos podemos asignar 

altura cero a la superficie de la mesa de laboratorio en la que estamos 

experimentando o incluso al techo, naturalmente puntos situados por encima de 

nuestro origen tendrán alturas positivas y los situados por debajo alturas negativas. 

No debe crearnos ningún conflicto el hecho de tener alturas negativas, y por 

tanto energías potenciales negativas, ya que como estamos viendo en las 

expresiones que obtenemos, la importante en física no es el valor total de la energía 

contenida en un cuerpo, sino las ganancias o pérdidas de energía sufridas por él. La 

energía total no sólo es imposible de calcular en muchos casos, sino que depende 

como acabamos de ver, del origen (en nuestro caso de alturas) que haya escogido 

cada uno. 

Energía potencial elástica 

Es ésta la energía potencial asociada a resortes o muelles, del tipo de los que 

se describen en la ley de Hooke que recordamos. 

r r 

F = −K 

⋅ ∆x 

⋅i 

en la que el muelle se supone alineado con el eje ‘X’ y la fuerza ejercida por él es 

proporcional al alargamiento o compresión del muelle y de sentido opuesto. 

No deduciremos en este caso la expresión de la energía potencial, por ser 

demasiado complicado, y nos limitaremos a darla. 

E P = ½ K (∆x) 2 

En este caso también se puede escoger arbitrariamente un origen para 

energías potenciales, existe sin embargo, en este caso, un acuerdo respetado por 

todo el mundo, y también por nosotros, que fija el origen de energías potenciales 

elásticas en el punto de equilibrio del muelle, es decir, cuando el muelle no está 

estirado ni comprimido, y por tanto no hace fuerza. Como se puede comprobar si ∆x 

= 0 entonces E P = 0. 

Es interesante comprobar que también en este caso (y en todos) se cumple la 

regla que dedujimos de que las fuerzas conservativas tiran de los cuerpos en el 

sentido de disminuir su E P . En efecto la fuerza ejercida por el muelle va siempre en 

el sentido de disminuir el alargamiento o compresión, es decir de disminuir |∆x| y por 

tanto la E P . 

42


7.- Energía Mecánica 

Definiremos la energía mecánica como la energía total, de estos tipos básicos 

de los que estamos hablando, contenida en un cuerpo, por tanto: 

Resaltar únicamente que si el cuerpo estuviese sometido a varias fuerzas 

conservativas, la energía potencial sería a su vez la suma de todas las energías 

potenciales correspondientes a cada una de ellas. 

Deduciremos a continuación un par de teoremas, de gran importancia, 

relacionados con la energía mecánica. 

Supongamos un cuerpo sometido a todo tipo de fuerzas, llamaremos 

respectivamente 

F r 

T 

F r 

F r 

C 

NC 

E M = E C + E P 

a la suma de todas las fuerzas aplicadas al cuerpo 

a la suma de todas las fuerzas conservativas aplicadas al cuerpo 

a la suma de todas las fuerzas no conservativas aplicadas al cuerpo 

evidentemente se nos cumplirá que: 

r r r 

FT 

= FC 

+ FNC 

calcularemos el trabajo realizado por cada uno de estos términos y nos quedará 

W T = W C + W NC 

y aplicando los teoremas de la E C y la E P vistos anteriormente nos queda: 

∆E c = -∆E P + W NC 

Reordenando 

W NC = ∆E c + ∆E P 

W NC = ∆E M = E M – E Mo 

que constituye el que llamaremos Teorema de la Energía Mecánica, y que 

enunciaremos diciendo: el trabajo realizado por las fuerzas no conservativas 

aplicadas a un cuerpo se emplea en incrementar su energía mecánica. Es 

evidente que si, como ocurre casi siempre, el trabajo no conservativo es negativo, 

entonces lo que se produce es una disminución de la energía mecánica. 

Destacar que para deducir este teorema hemos aplicado el de la E C , esto 

obliga a que absolutamente todas las fuerzas aplicadas al cuerpo sean consideradas 

y agrupadas, bien con las fuerzas conservativas o con las no conservativas. En 

consecuencia cualquier fuerza desconocida, o de la que no sabemos si es o no 

conservativa, o que incluso aún sabiendo que es conservativa, desconocemos su 

energía potencial asociada, será agrupada con las fuerzas no conservativas, y 

43


deberemos calcular el trabajo realizado por ella en el término W NC , u obtenerlo por 

aplicación, precisamente, de este teorema. 

A partir del teorema de la E M se deduce inmediatamente otro teorema mas 

conocido que el anterior, es el Teorema de Conservación de la Energía Mecánica, 

y que dice simplemente: 

Si W NC = 0 entonces ∆E M = 0 ⇔ E M = E Mo = cte 

Traducido en palabras: si todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo son 

conservativas, o si el trabajo realizado por las fuerzas no conservativas 

aplicadas al cuerpo es nulo, entonces la energía mecánica de dicho cuerpo se 

mantiene constante. Esto no quiere decir que las energías cinética y potencial no 

puedan cambiar, pero la harán de forma que su suma se mantenga constante, es 

decir puede haber transformaciones de energía cinética en potencial y viceversa, 

pero nunca ganancias o pérdidas netas de energía. 

8.- Trabajo realizado por la fuerza de rozamiento 

Calcularemos este trabajo por ser la fuerza de rozamiento la fuerza no 

conservativa que nos vamos a encontrar con más frecuencia. 

Tomemos un cuerpo que se encuentra 

desplazándose bajo la acción, entre otras, de 

la fuerza de rozamiento, y supongamos que 

nos encontramos en las condiciones en las 

que podemos aplicar nuestras expresiones 

r r 

W = F x 

· ∆x = F · ∆ 

· cosα , aunque podemos utilizar cualquiera de las dos usaremos 

en este caso la 2ª por ser más clara. 

r 

Puesto que es este caso F r 

= µN y α = 180º nos quedará: 

r 

= µ N· ∆ 

·( −1) 

WF 

r 

que deja bien de manifiesto que el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento es 

siempre negativo. Se puede calcular el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento 

para trayectorias no rectilíneas, obteniéndose una expresión muy parecida 

W 

r 

= − 

F 

µ 

NL 

F r 

r 

∆ r donde L es la longitud del camino recorrido por el cuerpo, como tal longitud es 

evidentemente siempre positiva, y por tanto el trabajo negativo. No se debe 

confundir esta L con un distancia entre posición inicial y final, si por ejemplo, un 

cuerpo se desplazase bajo los efectos de la fuerza de rozamiento, siguiendo un 

circunferencia completa, de forma que acabase en el mismo punto inicial, L sería en 

44


este ejemplo la longitud total de la circunferencia. Esto explica por que procuramos 

escoger siempre el camino más corto para empujar un cuerpo de un punto a otro, de 

esta forma gastamos menos energía en vencer la fuerza de rozamiento. 

PROBLEMAS 

1.- Desde cierta altura lanzamos una piedra horizontalmente y otra verticalmente hacia 

abajo, ambas con la misma velocidad. Razona cuál de las dos se estrella contra el 

suelo con mayor velocidad. ¿Y si la 2ª se hubiese lanzado hacia arriba? 

2.- Una persona ha de hacer una fuerza horizontal de 400 N para empujar con M.R.U. 

un mueble que pesa 900 N. El mueble se desplaza 6 m sobre el suelo que es 

horizontal. Calcula el trabajo realizado por la persona, por la fuerza de rozamiento y por 

el mueble. 

Sol: 2400 J; -2400 J; 0 J. 

3.- Se lanza verticalmente hacia arriba una piedra de masa 50 g con velocidad 10 m/s. 

Calcula: 

a) Sus energías cinética y potencial iniciales. 

b) Sus energías cinética y potencial en el punto más alto. 

c) La altura máxima alcanzada. 

d) Sus energías cinética y potencial cuando vuelve a caer en nuestra mano. 

e) La velocidad con que llega a nuestra mano. 

f) La altura a la que se encuentra y la velocidad que lleva cuando sus energías 

cinética y potencial son iguales. 

Tómese el origen de energías potenciales en el punto de lanzamiento. 

Sol: a) 2,5 J; 0 J b) 0 J; 2,5 J c) 5 m d) 2,5 J; 0 J 

e) -10 m/s f) 2,5 m; 7,07 m/s y -7,07 m/s 

4.- De un techo situado a 2,5 m de altura cuelga un péndulo de 1 m de longitud y masa 

400 g. 

a) Calcula la energía potencial de la bola. 

La cuerda del péndulo se rompe. 

b) Calcula la energía cinética, la potencial y la velocidad de la bola cuando llega 

al suelo. 

Haz todos los cálculos tomando el origen de energías potenciales en el techo y en el 

suelo. 

Sol: Respecto del techo: -4 J; 6 J, -10 J, 30 m 

s 

Respecto del suelo: 6 J; 6 J, 0 J, 30 m 

s 

45


5.- Calcula el trabajo realizado por una persona que carga con una maleta de 20 kg 

cuando: 

a) Camina horizontalmente a velocidad constante de 1 m/s durante 1 min. 

b) Sube por una cuesta del 5 % con la misma velocidad y durante el mismo 

tiempo del caso anterior. 

c) Ídem si baja la cuesta. 

d) Espera el autobús durante 10 min. 

e) Sube al autobús con un desnivel de 0,9 m. 

Sol: 0 J; 600 J; -600 J; 0 J; 180 J. 

6.- Calcula la potencia que está desarrollando el motor de un coche de masa 1000 

Kg que circula a 90 Km/h si todos los rozamientos sufridos por el coche equivalen a 

una fuerza de 800 N cuando: 

a) Circula horizontalmente. 

b) Sube una pendiente del 5 % 

c) Baja una pendiente del 5 % 

Expresa los resultados en KW y en C.V. 

Sol: 20 KW = 27,2 C.V. ; 32,5 KW = 44,2 C.V. ; 7,5 KW = 10,2 C.V. 

7.- Un muelle de K=1000 N/m y longitud 50 cm se encuentra sobre el suelo en posición 

vertical. Se comprime hasta una longitud de 30 cm, se coloca sobre él un cuerpo de masa de 

2 Kg y se libera el muelle. Calcula: 

a) La energía mecánica inicial. 

b) La altura máxima alcanzada y la energía mecánica en ese punto. 

Tómese el origen de energías potenciales gravitatorias en el suelo. 

Sol: a) 26 J b) 1,3 m ; 26 J 

8.- Un muelle de 30 cm de longitud y K=1000 N/m se encuentra en posición vertical, 

encima del muelle y a 1 m de altura (sobre el suelo) se suelta un objeto de masa 2 

Kg que cae sobre el muelle. Calcula la compresión máxima del muelle. 

9.- Una escalera mecánica de unos grandes almacenes sube a cierta hora del día a 

una media de 40 personas por minuto a un piso situado 4 m por encima del inicial. Si el 

peso medio de una persona es de 75 Kp, 

¿cuál debe ser la potencia mínima del motor de la escalera?. 

Sol: 2000 W 

46


CALORIMETRÍA 

Parte de la física que se ocupa de la medida del calor y de sus efectos sobre la 

materia. 

La calorimetría forma parte de la Termodinámica, una sección más amplia de 

la física, que se ocupa de sistemas formados por enormes cantidades de partículas. 

1.- Introducción 

En este tema nos ocuparemos de los intercambios de energía ocurridos entre 

sistemas. Un sistema es una porción del universo en la cual centramos nuestro 

estudio. Puede estar o no, encerrada dentro de algún recipiente que lo aísle más o 

menos del resto del universo. 

La diferencia fundamental que vamos a encontrar entre este tema y el de 

trabajo y energía, es que en el anterior tratábamos con partículas individuales, que 

quizá podían tener alguna extensión, pero que en cualquier caso nos 

despreocupábamos totalmente de su composición, y de las posibles interacciones 

de las partículas que lo componen. En consecuencia, no teniendo en cuenta la 

composición interna de los cuerpos, ignorábamos aspectos fundamentales de la 

“materia compleja”, tales como la energía interna y la temperatura, y otra forma de 

intercambio de energía entre sistemas, aparte del trabajo, el calor. 

No nos ocuparemos, de momento, de las relaciones puramente mecánicas 

que pueda tener nuestro sistema con el exterior. En muchos casos no habría 

diferencia con lo visto en temas anteriores; así por ejemplo, si tenemos una botella 

llena de liquido, compuesto como sabemos por una enormidad de moléculas, y 

ejercemos fuerzas sobre ella de forma que adquiere cierta altura y velocidad, 

podemos calcular la energía cinética y potencial de la misma con los métodos 

habituales: E C = ½ M v 2 y E P = Mgh, donde M será la masa total del sistema, v la 

velocidad del conjunto (del centro de masas) y h la altura media del conjunto (del 

centro de masas). Si encontraremos diferencias sustanciales en otros casos, si por 

ejemplo tenemos una cierta cantidad de gas encerrado en un recipiente con una 

pared móvil (émbolo), y empujamos esta pared, haremos un trabajo sobre el gas, lo 

que se traducirá en un aumento de su energía interna. 

2.- Energía Interna, Temperatura, Calor 

Energía Interna de un sistema es la suma de las energías cinéticas y 

potenciales de todas las partículas que lo componen. Estas energías cinéticas y 

potenciales son internas, es decir, hacen referencia al movimiento de las partículas 

respecto del conjunto, y a las fuerzas internas. La energía asociada al movimiento 

del conjunto, y a las fuerzas externas se calcula como se indicó en el punto anterior, 

y no nos interesa en el presente tema. 

47


La energía interna total contenida en un sistema es, normalmente, imposible 

de conocer, no sólo por la enorme cantidad de partículas que lo componen, y por la 

elección arbitraria que se puede hacer del origen de energías potenciales, también 

por la gran complejidad de las fuerzas que aparecen entre las partículas que 

componen nuestro sistema. Esta ignorancia sin embargo no debe preocuparnos, ya 

que como dijimos en un tema anterior, lo importante de la energía no es cuanta se 

tiene, sino cuanta se gana o se pierde. 

Temperatura es una propiedad de la materia asociada a la agitación térmica, 

movimiento interno, de las partículas que la componen. Se demuestra que la 

temperatura de un cuerpo es proporcional a la energía cinética media de las 

partículas que lo componen. Únicamente energía cinética, no potencial, de forma 

que podemos tener por ejemplo, dos masas iguales de agua que se encuentren a la 

misma temperatura (misma energía cinética media, misma velocidad media de las 

moléculas), pero tengan distinta energía interna, éste sería por ejemplo dos masas 

iguales de agua, a 0 ºC, pero una en estado líquido y otra en estado sólido 

El calor es la cantidad de energía que se transfiere de un sistema a otro, 

debido a una diferencia de temperatura entre ellos. Intentaremos corregir algunos 

errores, que con relación al calor se producen con frecuencia: los cuerpos no tienen 

calor, tienen energía interna, que aumentan o disminuyen ganando o perdiendo 

calor; en consecuencia, frases como “este cuerpo está caliente”, debe ser 

interpretada no como que acumula mucho calor, sino como que acumula mucha 

energía interna, y como consecuencia su temperatura es elevada. 

La transmisión de calor de un cuerpo a otro se rige por el Principio Cero de 

la Termodinámica, que dice: cuando dos cuerpos a temperaturas diferentes se 

ponen en contacto, pasa calor del caliente al frío hasta que las temperaturas se 

igualan, se dice entonces que los dos cuerpos han alcanzado el equilibrio térmico. 

Este principio debe su curioso nombre a que, para cuando a alguien se le ocurrió 

que este efecto, conocido de muy antiguo, tenía la importancia suficiente como para 

ser considerado un principio, ya se habían enunciado los principios 1º y 2º de la 

termodinámica. Este principio vuelve a poner de manifiesto que siempre que hay una 

transmisión de energía, intervienen al menos dos cuerpos, uno que la gana y otro 

que la pierde. 

Convenio de signos: existen evidentemente dos posibilidades para asignar un 

signo al calor, según sea absorbido o cedido, nosotros seguiremos aquí el convenio 

actualmente más usado, que es el convenio físico, según el cual: si un cuerpo gana 

o absorbe energía en forma de calor, éste será considerado positivo, si el 

cuerpo pierde o cede calor, éste será considerado negativo. 

Según este convenio, y puesto que la energía ni se crea ni se destruye, si en 

una transmisión de calor consideramos todos los cuerpos o sistemas que han 

intervenido en ella, la suma de todos los calores correspondientes (cada uno con su 

signo) debe dar cero. 

48


3.- Efectos del calor 

Cuando un cuerpo absorbe o pierde energía en forma de calor se produce un 

cambio en las energías cinéticas, potenciales o ambas de las partículas 

microscópicas que lo componen, este cambio tiene sin embargo repercusiones que 

pueden ser apreciadas macroscópicamente y de las que nos ocuparemos a 

continuación. 

Cambios de estado 

Efectos del calor 

Variaciones de temperatura 

Dilataciones 

a) Cambios de Estado 

Sublimación 

Fusión 

Vaporización: 

Evaporación o Ebullición 

SÓLIDO LÍQUIDO GAS 

Solidificación 

Licuefacción 

Sublimación regresiva 

a1) Sólido-líquido 

Existen dos tipos de sólidos, los cristalinos y los amorfos. 

Los sólidos cristalinos, como el hielo, el basalto o el hierro, se caracterizan 

porque los átomos, moléculas o iones que los componen se encuentran vibrando 

alrededor de posiciones fijas, a las que se encuentran sujetas por fuerzas eléctricas 

que ejercen sobre éstas partículas sus vecinas, formando una red cristalina. Cuando 

aumentamos la temperatura de un sólido cristalino se aumenta la amplitud de las 

vibraciones de las partículas, de forma que llega un momento en que algunas de 

estas adquieren energía suficiente para abandonar la posición en que se 

encontraban y el sólido empieza a fundirse; a partir de ese momento, si seguimos 

suministrando calor al cuerpo, toda la energía que este adquiere se emplea en 

liberar a otras partículas de las fuerzas que las mantienen sujetas, y en 

consecuencia, en aumentar la energía potencial interna del cuerpo, pero no la 

energía cinética, por tanto la temperatura del cuerpo se mantendrá constante 

49


mientras dure la fusión. El mismo razonamiento es también válido para el proceso 

inverso. 

En los sólidos amorfos, como la cera o el vidrio, la distancia entre las 

partículas que los componen no es fija, por lo que estas partículas tienen una cierta 

libertad de movimientos. Cuando aumentamos la temperatura vamos aumentado 

gradualmente esta libertad de movimiento, hasta que llega un momento en que 

consideramos que el cuerpo puede fluir y lo consideramos un líquido. Este cambio 

sin embargo es gradual y no se produce a una temperatura fija, por lo que no 

tenemos una temperatura de fusión característica como en el caso anterior; en 

realidad deberíamos considerar a los sólidos amorfos como líquidos 

extraordinariamente viscosos, cuya viscosidad disminuye al aumentar la 

temperatura, sin que llegue a producirse en realidad un cambio de estado. 

Como se deduce del razonamiento hecho para sólidos cristalinos (los 

verdaderos sólidos) y como se comprueba experimentalmente, una vez que un 

sólido ha alcanzado la temperatura de fusión, el calor que se suministre a partir de 

entonces es proporcional a la masa de sustancia que se funde (efectivamente, si se 

proporciona doble cantidad de energía se conseguirá liberar de sus ataduras a doble 

cantidad de partículas) es decir: 

Q = m·l f 

Siendo: 

m masa de sólido que se funde 

l f calor latente de fusión 

Donde el calor latente de fusión se define como la cantidad de energía en 

forma de calor que hay que suministrar a la unidad de masa ( 1 Kg en el S.I.) de un 

sólido para fundirlo. El sólido debe encontrarse previamente a la temperatura de 

fusión. 

Tanto la temperatura de fusión como el calor latente dependen lógicamente 

del tipo de sustancia que estemos considerando. También depende su valor de la 

presión, aunque esta última dependencia es tan pequeña que por lo general no la 

tendremos en cuenta. 

Si a un líquido le quitamos energía en forma de calor iremos disminuyendo 

gradualmente la energía cinética de las partículas que lo componen, y por tanto su 

velocidad, de forma que llegará un momento, a cierta temperatura fija, en el que las 

fuerzas eléctricas existentes entre las partículas del líquido podrán mantener unidas 

a algunas de ellas, ha empezado la solidificación. A partir de ese momento toda la 

energía que extraigamos del líquido será energía potencial, y la temperatura se 

mantendrá constante hasta que finalice la solidificación. 

50


Todo el proceso lógicamente es inverso al del caso anterior, por lo que no 

debe suponer un problema deducir que la ecuación que rige este proceso es: 

Q = m·l s 

Siendo: 

m masa de líquido que se solidifica 

l s calor latente de solidificación 

Donde el calor latente de solidificación se define como la cantidad de energía 

en forma de calor que hay que suministrar a la unidad de masa ( 1 Kg en el S.I.) de 

un líquido para solidificarlo. El líquido debe encontrarse previamente a la 

temperatura de solidificación. 

Lógicamente, si para fundir cierta cantidad de un sólido debemos aportarle 

cierta cantidad de energía, para volverlo a la situación inicial habrá que extraerle 

exactamente la misma, puesto que el calor que absorbe en un caso, y el que cede 

en el otro tienen signos opuestos, deducimos que: 

por lo que conocido uno de los calores latentes se conoce automáticamente el otro. 

a2) Líquido-gas 

l s = - l f 

En un líquido las moléculas, átomos o iones que lo componen se están 

moviendo con notable libertad por su interior, sin embargo las fuerzas eléctricas 

entre éstas partículas son suficientemente intensas como para mantenerlas 

próximas unas a otras, ocupando en consecuencia un volumen relativamente 

pequeño, que depende únicamente de la cantidad de partículas que contiene y muy 

ligeramente de la presión a la que está sometido. 

La temperatura del líquido, también aquí, depende de la energía cinética 

media de las partículas que lo componen, y por tanto de su velocidad, destacar sin 

embargo, que hablamos de energía cinética media, por lo que evidentemente habrá 

algunas partículas que se muevan más rápidamente que otras. Eventualmente, 

algunas partículas pueden llegar a la superficie del líquido con velocidad (energía 

cinética) suficiente como para escapar a la atracción de sus vecinas, saliendo del 

líquido y pasando a estado gaseoso, a este proceso se le llama evaporación. 

Puesto que la energía cinética de las partículas que consiguen escapar del líquido 

es superior a la media, esto hace que la media de las que permanecen en él baje, y 

como consecuencia la temperatura del líquido disminuya si no se repone la energía 

perdida. Este es el motivo por el que sudamos, porque al evaporarse el sudor 

absorbe energía de nuestra piel enfriándola. 

La evaporación en un líquido ocurre a cualquier temperatura, pero no siempre 

con la misma rapidez; cuanto mayor sea la temperatura de un líquido más partículas 

habrá que consigan llegar a la superficie con la energía suficiente. 

Si suministramos calor continuamente a un líquido conseguiremos aumentar 

la temperatura de éste, de forma que la evaporación será cada vez más rápida, 

51


hasta que llegue un momento en que la energía cinética que tienen por término 

medio las partículas del líquido sea suficiente para vaporizarse, en este momento 

gran parte de las moléculas del líquido tienen esa energía, y la vaporización se 

produce en todos los puntos del líquido de forma tumultuosa, se dice que se produce 

la ebullición. 

A diferencia de la evaporación la ebullición se produce a una temperatura fija 

que se mantendrá constante mientras quede líquido, ya que el nuevo calor que se 

suministra se emplea exclusivamente, en vencer las fuerzas de atracción de las 

partículas del líquido sobre las que se vaporizan, incrementando en consecuencia la 

energía potencial, pero no la cinética. Por otra parte, un líquido no puede existir en 

este estado, a temperatura superior a la de ebullición, ya que esto implicaría que su 

energía cinética media es superior a la necesaria para vaporizarse. 

Como se deduce del razonamiento anterior, y como se comprueba 

experimentalmente, una vez que un líquido ha alcanzado la temperatura de 

ebullición, el calor que se suministre a partir de entonces es proporcional a la masa 

de sustancia que se vaporiza (efectivamente, si se proporciona doble cantidad de 

energía se conseguirá liberar de sus ataduras a doble cantidad de partículas) es 

decir: 

Q = m·l v 

Siendo: 

m masa de líquido que se vaporiza 

l v calor latente de vaporización 

Donde el calor latente de vaporización se define como la cantidad de energía 

en forma de calor que hay que suministrar a la unidad de masa ( 1 Kg en el S.I.) de 

un líquido para vaporizarlo. El líquido debe encontrarse previamente a la 

temperatura de ebullición. 

La temperatura de ebullición depende grandemente de la presión, por lo que 

es necesario indicar ésta cuando se dé aquella. Se llama temperatura de ebullición 

normal de un cuerpo al valor de ésta cuando la presión es de 1 atmósfera. Para el 

agua la temperatura de ebullición normal es de 100 ºC. 

Cuando una partícula de vapor colisiona con una superficie líquida puede 

ceder parte de su energía cinética a las partículas del líquido, quedando entonces 

atrapada por las fuerzas eléctricas internas del líquido, a este proceso se le llama 

licuefacción, y es evidentemente el inverso del anterior. Esta claro que la 

licuefacción aumentará la energía cinética media del líquido, y por tanto su 

temperatura, en consecuencia deberemos extraer continuamente calor si queremos 

que el proceso continúe. 

52


Siguiendo un razonamiento análogo al del caso sólido líquido podemos 

concluir también ahora que: 

Q = m·l l 

Siendo: m masa de vapor que se licúa 

l l calor latente de licuefacción 

Donde el calor latente de licuación se define como la cantidad de energía en 

forma de calor que hay que suministrar a la unidad de masa ( 1 Kg en el S.I.) de un 

vapor para licuarlo. El vapor debe encontrarse previamente a la temperatura de 

ebullición. 

También se cumplirá evidentemente que: 

l l = - l v 

a3) Sólido-gas 

Es este un proceso mucho menos frecuente en la naturaleza que los 

anteriores, por lo que no nos detendremos en ellos, si ocurre sin embargo en 

algunas sustancias conocidas como el Yodo, la naftalina o el alcanfor. En la práctica 

muchas sustancias pueden sublimarse, aunque la mayoría de ellas sólo en unas 

condiciones de presión muy extremas. El proceso que sigue una sustancia al 

sublimarse es fácil de imaginar conocidos los anteriores, y las consecuencias a las 

que se llegan son completamente similares. 

UNIDADES 

Podemos calcular la unidad de calor latente despejándolo de cualquiera de las ecuaciones anteriores; 

obtendremos que se debe medir en unidades calor entre unidades de masa, 

Por tanto en el S.I. [ ] 

Julio J 

l = = 

Kg Kg 

53


b) Variaciones de temperatura 

b1) Sólidos y líquidos 

Cuando a un sólido o líquido alejados de la temperatura de cambio de estado, 

le proporcionamos energía en forma de calor, y si despreciamos el efecto de las 

dilataciones, de las que hablaremos más adelante, el único efecto que producimos 

sobre esta sustancia, es el de aumentar la energía cinética media, ya que las 

posiciones relativas de las partículas, y por tanto su energía potencial no cambia. En 

consecuencia el calor absorbido producirá un incremento en la temperatura, y 

puesto que la temperatura del cuerpo es proporcional a la energía cinética media, un 

incremento en la energía cinética (debido al calor absorbido) producirá un 

incremento proporcional en la temperatura, es decir: 

Q = K· 

∆T 

la constante K que aparece en esta expresión se conoce como capacidad calorífica 

del cuerpo, y es una medida de la inercia térmica de ese cuerpo, ya que cuanto 

mayor sea K mayor será la cantidad de calor que debemos dar para producir el 

mismo incremento en la temperatura. 

La capacidad calorífica nos dice la cantidad de calor que debemos dar a un 

cuerpo para incrementar su temperatura en 1 grado (centígrado o Kelvin), y será 

proporcional a su masa, ya que es de suponer que a doble masa deberemos 

suministrar doble cantidad de energía para que la energía cinética media 

(temperatura) aumente lo mismo. Por otra parte, según sabemos la energía que 

debemos suministrar a 1 Kg de materia para incrementar su temperatura 1 grado no 

es la misma si se trata de hierro o de agua. Concluimos en consecuencia que la 

capacidad calorífica será proporcional a la masa y dependerá del tipo de materia, en 

consecuencia: 

K = m·c 

donde c es el calor específico de la sustancia, su valor depende exclusivamente del 

tipo de sustancia considerada, y del estado de agregación en que se encuentre (y 

también de la temperatura, aunque muy ligeramente, por lo que no lo tendremos en 

cuenta). 

Reescribiremos por tanto la ecuación anterior poniendo: 

Q 

= m· 

c· 

∆T 

que lleva ya implícito el signo correspondiente al calor (calores absorbidos, positivos, 

producirán incrementos positivos en la temperatura, y calores cedidos, negativos, 

producirán incrementos negativos, disminuciones, en la temperatura). 

Definiremos calor específico a partir de la expresión anterior como la cantidad 

de calor que hay que suministrar a la unidad de masa (1 Kg en el S.I.) de cierta 

sustancia para incrementar su temperatura en un grado (Kelvin en el S.I.). 

54


UNIDADES 

Podemos calcular la unidad de calor específico despejándolo de la ecuación anterior: 

Por tanto en el S.I. [ c] 

J 

= 

Kg·º 

K 

A partir del calor específico del agua se suele definir una nueva unidad de calor, que afortunadamente 

va cayendo en desuso, ésta es la caloría (cal), que se define de la siguiente manera: Una caloría es 

la cantidad de calor que hay que suministrar a 1 g de agua líquida para incrementar su temperatura 

en 1 ºC. Joule demostró en su momento que 1 cal = 4,18 J 

A partir de esta definición, podemos concluir que para el agua líquida: 

cal cal 4,18 J 1000 g J 

c = 1 = 1 · · = 4180 

g·º 

C g·º 

C 1cal 

1 Kg Kg·º 

C 

b2) Gases 

Para el caso de gases cabe destacar que es imposible ignorar el efecto de las 

dilataciones, pues en este caso éstas pueden ser de gran importancia, lo que 

conlleva la necesidad de estudiar los efectos de la absorción del calor de distinta 

forma, según que el proceso de absorción se produzca a presión o volumen 

constante. No profundizaremos en estos casos, pero cabe destacar que para el caso 

de gases se podría escribir una ecuación similar a la del punto anterior, pero con 

calores específicos distintos según que la absorción de calor se produzca a presión 

o volumen constante. 

c) Dilataciones 

Será necesario, aquí también, distinguir entre los casos de sólidos líquidos y 

gases. Deberíamos estudiar también las dilataciones que se producen en los 

cambios de estado. Obviaremos éstas últimas sin embargo, ya que para saber el 

cambio habido en el volumen de un cuerpo como consecuencia de un cambio de 

estado basta con conocer la densidad en ambos estados. Destacar que en los pasos 

sólido líquido gas, se produce siempre un aumento de volumen, con alguna 

notable excepción, como la del agua en el paso sólido líquido. 

Destacar que, aunque las dilataciones en sólidos y líquidos producen, en 

general, cambios ínfimos en el tamaño del cuerpo, llevan aparejadas unas fuerzas 

enormes, prácticamente irresistibles, por lo que deberán ser tenidas en cuenta en el 

diseño de edificios, ferrocarriles y muchos aparatos para evitar desgracias. 

c1) Sólidos 

Distinguiremos aún entre las dilataciones lineales, superficiales y cúbicas, no 

porque la dilatación no afecte siempre a las tres dimensiones del sólido, sino porque 

con frecuencia interesa únicamente, la dilatación sufrida por el sólido solamente en 

una o dos dimensiones, éste es el caso por ejemplo de la dilatación sufrida por un 

tramo de vía de ferrocarril o de una viga de un edificio, en el que sólo nos interesan 

los cambios en su longitud, y no en su anchura o altura. 

55


c1.1 Dilataciones lineales 

El aumento en la longitud de un sólido “unidimensional” es proporcional a la 

longitud inicial del sólido y al incremento de temperatura, es decir: 

∆ l = α · l 0 

· ∆T 

desarrollando el incremento de l y reordenando nos queda: 

l 

= l 0 

(1 + α · ∆T 

) 

siendo α el coeficiente de dilatación lineal. Este coeficiente toma valores 

normalmente entorno a 10 -6 en el S.I., por lo que para que se produzcan variaciones 

apreciables en la longitud de un sólido es necesario que este tenga una longitud 

inicial importante y el cambio en la temperatura sea notorio 

c1.2 Dilataciones superficales 

La ecuación que rige este tipo de dilataciones es muy similar a la anterior y se 

obtiene de la misma forma. 

S = S 0 

(1 + β · ∆T 

) 

Siendo β el coeficiente de dilatación superficial. Se demuestra que 

β = 2α 

c1.3 Dilataciones cúbicas 

La ecuación que rige este tipo de dilataciones es: 

V = V 0 

(1 + γ · ∆T 

) 

Siendo γ el coeficiente de dilatación cúbica. Se demuestra que 

γ = 3α 

c2) Líquidos 

En este caso la dilatación cúbica es la única que tiene sentido, y obtenemos: 

V = V 0 

(1 + γ · ∆T 

) 

Siendo γ el coeficiente de dilatación cúbica para el líquido 

56


c3) Gases 

La dilatación de los gases se rige por las leyes de los gases perfectos, ya 

vistas en un tema anterior. 

UNIDADES 

Podemos calcular la unidad de los coeficientes de dilatación a partir de las ecuaciones vistas, 

obteniendo en el S.I. [ α ] = [ β ] = [ γ ] 

= 

1 

º K 

4.- Representación gráfica de los efectos del calor 

La representación que vamos a hacer ahora, aunque innecesaria puede 

ayudar a visualizar los efectos del calor. 

Supongamos un cuerpo, inicialmente en estado sólido, al que suministramos 

calor a un ritmo constante e ininterrumpido, de forma que va a ir pasando por los 

distintos estados de agregación. Representaremos gráficamente la temperatura del 

cuerpo frente al tiempo, y por tanto frente a la cantidad de calor que ha absorbido. 

T 

T e 

ebullición 

Líquido+gas 

gas 

T f 

fusión 

Sólido+líquido 

líquido 

sólido 

T 0 

Siendo: 

T 0 temperatura inicial del sólido 

T f temperatura de fusión 

T e temperatura de ebullición 

t 

Esta gráfica nos pone bien de manifiesto que la temperatura permanece 

constante durante el cambio de estado, mientras que cuando no hay cambio de 

57


estado la temperatura varía linealmente con el calor absorbido (con el tiempo 

transcurrido, pero habíamos dicho que el calor se suministra a ritmo constante). 

4.- El calorímetro 

termómetro 

aislante 

termómetro 

calorímetro 

El calorímetro es un artefacto usado 

en laboratorio para producir intercambios de 

calor en su interior, asegurándonos de que 

no haya intercambios de energía con el 

exterior, que serían difíciles de evaluar. 

Consiste habitualmente en un recipiente 

cuyas paredes están aisladas térmicamente. 

No podremos evitar sin embargo que nuestro 

sistema intercambie energía con el propio 

calorímetro, por lo cual el fabricante 

acostumbra a dar los datos necesarios para 

evaluar este intercambio. Este dato 

proporcionado por el fabricante puede ser: la 

capacidad calorífica del calorímetro, su 

equivalente en agua o ambos. El equivalente 

en agua de un calorímetro, es la masa 

de agua que tiene la misma capacidad calorífica que el calorímetro, de forma que a 

la hora de calcular los intercambios de energía producidos en el interior del 

calorímetro, podemos considerar que en su interior además de otras sustancias que 

hayamos introducido, hay una cantidad de agua igual a su equivalente en agua que 

se encuentra a la temperatura inicial del calorímetro. 

PROBLEMAS 

1.- ¿Es posible que el poner en contacto dos cuerpos a temperaturas diferentes, la 

temperatura final coincida con la inicial de uno de ellos?. 

2.- Calcula el calor que se debe suministrar a 2 Kg de hielo a -10 ºC para 

transformarlo en agua líquida a 50 ºC. Datos: c hielo = 0,5 cal/g·ºC ; l f = 80 cal/g. 

Sol: 1,13 MJ 

3.- Calcular el calor desprendido al licuarse 5,9 g de vapor de agua a 100 ºC y 1 atm, 

obteniéndose agua líquida a 100 ºC. Dato: l v = 539 cal/g 

Sol: 13,3 KJ 

4.- Calcula el incremento de temperatura que sufrirá una el agua al caer por una 

catarata de 50 m de altura. 

Sol: 0,12 ºC 

58


5.- Calcula la altura desde la que debería caer un trozo de hielo para fundirse 

totalmente como consecuencia del choque. Supón que el hielo absorbe todo el calor 

producido en el choque. Dato: l f = 80 cal/g. 

Sol: 34 Km 

6.- Un bloque de plomo se encuentra deslizando con velocidad 20 m/s sobre una 

superficie horizontal. Si el plomo absorbe el 60% del calor producido por rozamiento, 

calcula el incremento de temperatura que habrá sufrido cuando se detenga. 

c Pb = 0,03 cal/g · ºC. Sol: 0,96 ºC 

7.- Se desea preparar un baño de 100 l de agua a 40 ºC, y se dispone de agua a 20 

ºC y 70 ºC, ¿cuánta de cada una se debe utilizar? 

Sol: 60 Kg y 40 Kg 

8.- En un calorímetro que contiene 0,1 kg de agua a 15 ºC se introduce una bola de 

cobre de 50 g a 200 ºC. ¿Cuál es la temperatura final?. El equivalente en agua del 

calorímetro es 0,022 Kg. Dato: c Cu = 0,093 cal/g·ºC 

Sol: 21,8 ºC 

9.- Se echan 50 g de una aleación metálica calentada a 250 ºC en un calorímetro 

que contiene 130 g de agua a 15 ºC. La temperatura final es de 18 ºC. Calcula el 

calor específico de la aleación. (Equivalente en agua del calorímetro: 20 g) 

Sol: c = 162 J/Kg·ºK 

10.- Dentro de un calorímetro se colocan 100 g de agua a 80 ºC y 20 g de hielo a 

–10 ºC. Calcula la temperatura final. 

Sol: 52,5 ºC 

11.- Calcula la longitud de un tramo de vía de ferrocarril, que en invierno a –20 ºC 

mide 5 m, si en verano, a pleno sol se encuentra a 70 ºC. Dato: α Fe = 1,17·10 -5 ºC -1 

Sol: 5,005 m 

12.- Una varilla metálica mide 200 cm de largo a 0 ºC y 200,18 cm a 60 ºC. ¿Cuál es 

su coeficiente de dilatación lineal? 

-1 

Sol: 1,5·10 

-5·ºC 

59


FORMULACIÓN QUÍMICA INORGÁNICA 

1. VALENCIA DE UN ELEMENTO QUÍMICO. 

Es una medida de la capacidad de unirse con otros elementos. Se toma como 

referencia el hidrógeno, al que se asigna valencia 1, la valencia de un elemento 

cualquiera es el número de átomos de hidrógeno con que se combina 1 átomo del 

elemento problema. También se puede averiguar la valencia del elemento por el 

número de átomos con que se combina de otro elemento cualquiera, de valencia 

conocida, mediante una sencilla operación matemática. Por su propia naturaleza la 

valencia de un elemento es un número sin signo. 

2. NÚMERO DE OXIDACIÓN DE UN ELEMENTO QUÍMICO. 

Es el número de electrones ganados o cedidos, total o parcialmente, por el 

elemento al formar un compuesto. Coincide con la carga del ion correspondiente si 

todos los enlaces fuesen iónicos. En un compuesto los elementos más 

electronegativos tienen número de oxidación negativo, y los más electropositivos lo 

tendrán positivo. 

Los números de valencia y de oxidación coinciden salvo signo. 

3. ESTADOS DE OXIDACIÓN MÁS FRECUENTES DE LOS ELEMENTOS MÁS 

COMUNES. 

Metales 

Li Be Cu +1,+2 Sn 

Na Mg Hg Pb +2,+4 

K Ca Pt 

Rb +1 Sr +2 Au +1,+3 

Cs Ba Cr +2,+3,+4,+6 

Fr Ra Fe 

Ag Zn Co +2,+3 Mn +2,+3,+4,+6,+ 

7 

+ 

NH 4 Cd 

Ni 

Al +3 

60


No Metales 

F -1 O -2,-1 N +1,+2,±3 C +2,±4 

+4,+5 

Cl S Si ±4 

Br ±1,+3 Se ±2,+4,+6 P +1,±3,+5 

I +5,+7 Te 

At 

H ±1 

As 

Sb ±3,+5 B ±3 

4. REGLAS PARA DETERMINAR EL ESTADO DE OXIDACIÓN DE UN 

ELEMENTO EN UN COMPUESTO. 

• El estado de oxidación de un ion simple coincide con su carga (Ca +2 ---> +2) 

• En un elemento el número de oxidación de los átomos es 0 (N 2 ---> 0) 

• La suma de los números de oxidación de todos los átomos que forman una 

molécula es igual a cero. Si se tratara de un ion sería igual a la carga del ion. 

• El número de oxidación del hidrógeno es +1 cuando se combina con elementos 

más electronegativos que él, y -1 cuando lo hace con elementos más 

electropositivos. 

• El número de oxidación del oxígeno es -2, excepto en peróxidos que es -1. 

5. NORMAS BÁSICAS DE FORMULACIÓN. 

• Los elementos deben estar ordenados (en general) de izquierda a derecha de 

más electropositivos a más electronegativos. 

• Como las moléculas son neutras (carga total nula) la suma de los números de 

oxidación de todos los átomos debe ser cero. 

• Si el número de átomos de cada tipo que se ha obtenido mediante la aplicación 

de las regla de formulación lo permitiese se simplificarán hasta que queden 

enteros lo más pequeños posibles. (Con excepciones). 

6. NORMAS BÁSICAS DE NOMENCLATURA. 

Como norma general, de rigurosa aplicación en compuestos binarios salvo 

nombres tradicionales, los elementos se mencionan en orden inverso a como se 

escriben, es decir, de derecha a izquierda. 

Nomenclatura sistemática (IUPAC). 

Usa los prefijos mono-, di-, tri-, tetra-, penta-, .... para indicar el 

número de átomos de cada tipo. 

El prefijo mono- se suele omitir. 

61


Nomenclatura de Stock. 

A continuación del nombre del elemento se coloca la valencia entre paréntesis 

y con números romanos. 

Si el elemento tiene sólo una valencia se suele omitir. 

Nomenclatura tradicional. 

Es la más antigua y se desaconseja su utilización, aunque sigue siendo 

muy utilizada. Consiste en indicar la valencia del elemento mediante prefijos y 

sufijos. 

1 valencia ...-ico 2 valencias ...-oso 

...-ico 

hipo-...-oso 

hipo-...-oso 4 valencias ...-oso 

3 valencias ...-oso ...-ico 

...-ico 

per-......-ico 

7. CLASIFICACIÓN DE COMPUESTOS 

Hidruros metal + H 

Con Hidrógeno Hidrácidos H + no metal 

Compuestos 

Binarios Óxidos metálicos metal + O 

Con Oxígeno Óxidos no metálicos no metal + O 

Peróxidos 

metal + O 2 

Sales binarias 

metal + no metal 

Hidróxidos metal +(OH) 

Ternarios Oxoácidos H + no metal + O 

Oxisales Metal + no metal + O 

Representaremos en general los metales con ‘M’ y su valencia con ‘x’, los no 

metales con ‘N’ y su valencia con ‘y’. Hidrógeno y oxígeno figurarán con su propio 

símbolo y valencia. Los ‘1’ no figuran en las fórmulas. 

HIDRUROS 

Formula general: 

Nomenclatura Sistemática: 

Nomenclatura Stock: 

HIDRÁCIDOS 

Formula general: 



M H x 

prefijo-hidruro de metal 

hidruro de metal (val) 

H y N 

no metal-uro de prefijo-hidrógeno 

no metal-uro de hidrógeno 

62


En disolución acuosa estos compuestos tienen propiedades ácidas, por lo que 

puede nombrárseles también como: 

ácido no metal-hídrico 

Estrictamente sólo se pueden considerar hidrácidos a los compuestos de 

halógenos y anfígenos, existen sin embargo otros compuestos no metal-hidrógeno 

que se suelen nombrar con su nombre tradicional, estos son: 

H 2 O agua NH 3 amoniaco PH 3 fosfina AsH 3 arsina 

BH 3 borano SiH 4 silano CH 4 metano SbH 3 estibina 

ÓXIDOS METÁLICOS 

formula general: 



M 2 O x 

prefijo-óxido de prefijo-metal 

óxido de metal (val) 

ÓXIDOS NO METÁLICOS 


N 2 O y 

Nomenclatura Sistemática: prefijo-óxido de prefijo-no metal 


óxido de no metal (val) 

PERÓXIDOS 




M 2 (O 2 ) x 

prefijo-óxido de prefijo-metal 

peróxido de metal (val) 

El número de oxidación del grupo O 2 es -2, y por tanto su valencia 2. 

Habitualmente se suprime el paréntesis y se indica el número total de 

oxígenos. La simplificación, en este caso, sólo podrá hacerse si queda un número 

entero de grupos O 2 (número par de oxígenos). 

SALES BINARIAS 




M y N x 

prefijo-no metal-uro de prefijo-metal 

no metal-uro de metal (val) 

Aunque por sales binarias se consideran estrictamente las aquí expuestas, 

también se pueden formar compuestos no metal-no metal, que se formularán igual 

que las sales binarias (colocando el elemento más electronegativo a la derecha) y se 

nombrarán únicamente con la nomenclatura sistemática. 

HIDRÓXIDOS 




M(OH) x 

prefijo-hidróxido de metal 

hidróxido de metal (val) 

63


El número de oxidación del grupo OH es -1, y por tanto su valencia 1. Si x=1 

se suprime el paréntesis. 

OXOÁCIDOS 

Se forman añadiendo una molécula de agua a un óxido no metálico. 

óxido no metálico + agua ---> oxoácido (meta) 

En algunos casos el oxoácido formado puede absorber otra molécula de agua 

formando un oxoácido distinto. 

oxoácido (meta) + agua oxoácido (orto) 

También pueden formarse nuevos oxoácidos por polimerización de otro 

oxoácido, consistiendo este proceso en la unión de dos moléculas de oxoácido que 

pierden una molécula de agua. 

2 oxoácido (meta u orto) - agua oxoácido (di) 


H a N b O c 

Nomenclatura Sistemática 

como ácido: 

ácido prefijo-oxo-prefijo-no metal-ico (val) 

como sal de hidrógeno: prefijo-oxo-prefijo-no metal-ato (val) de hidrógeno 

Nomenclatura tradicional: ácido (meta, orto o di)prefijo-no metal-sufijo 

Los números a, b y c no son, en este caso, valencias. 

Los prefijos meta se suelen suprimir, excepto en el caso del fosforo y el boro, 

en el que se suele suprimir el orto. En lugar del prefijo di se utiliza en ocasiones el 

prefijo piro, que es perfectamente intercambiable. 

Algunos metales con valencias muy altas se comportan a estos efectos como 

no metales. Veremos los casos del cromo con valencia 6 y el manganeso con 

valencias 6 y 7. 

CrO 3 + H 2 O H 2 CrO 4 

ácido tetraoxocrómico (VI) 

tetraoxocromato (VI) de hidrógeno 

ácido (meta)crómico 

2 H 2 CrO 4 - H 2 O H 2 Cr 2 O 7 

ácido heptaoxodicrómico (VI) 

heptaoxodicromato (VI) de hidrógeno 

ácido dicrómico 

MnO 3 + H 2 O H 2 MnO 4 

ácido tetraoxomangánico (VI) 

tetraoxomanganato (VI) de hidrógeno 

ácido mangánico 

Mn 2 O 7 + H 2 O ---> HMnO 4 

ácido tetraoxomangánico (VII) 

tetraoxomanganato (VII) de hidrógeno 

ácido permangánico 

64


OXISALES 

Se forman a partir de los oxoácidos. A la molécula de oxoácido se le quitan 

los hidrógenos, el oxoanión resultante actúa con valencia igual al número de 

hidrógenos que se quitaron y número de oxidación negativo. Llamaremos z a la 

valencia del oxoanión. 


M z (oxoanión) x 

Nomenclatura Sistemática: prefijo-oxo-prefijo-no metal-ato (val) de metal (val) 

Nomenclatura tradicional: (meta, orto o di)prefijo-no metal-sufijo de metal (val) 

En la nomenclatura tradicional se cambian los sufijos: 

-oso ---> -ito 

-ico ---> -ato 

EJERCICIOS 

Na 2 SO 4 I 2 O 5 dihidróxido de berilio 

HF H 2 CrO 4 dioxoclorato (III) de mercurio (II) 

Al(OH) 3 (NH 4 ) 2 SO 3 trióxido de diniquel 

H 2 CO 3 Co 2 O 6 tetracloruro de carbono 

CH 4 HBrO 2 oxoyodato (I) de hidrógeno 

MgO 2 Mg 3 (PO 3 ) 2 amoniaco 

H 3 PO 4 AsH 3 trioxoborato (III) de bario 

Fe 2 (SO 3 ) 3 BeO hidróxido de amonio 

KBr Pb(SO 4 ) 2 tetraoxobromato (VII) de hidrógeno 

SeO 2 SnO 2 dioxonitrato (III) de manganeso (II) 

BaH 2 P 2 O 5 arsina 

CI 4 CsH ácido tetraoxosulfúrico (VI) 

HgOH HMnO 4 diyoduro de cobre 

HNO 2 NH 4 OH dioxonitrato (III) de hierro (III) 

Ni 2 O 3 GeO seleniuro de dihidrógeno 

CoO Sr(NO 2 ) 2 ácido pentaoxodifosfórico (III) 

HIO 4 As 2 O 5 óxido de radio 

PbI 4 RbH pentaóxido de diantimonio 

In 2 O 6 PCl 5 trioxosilicato (IV) de oro (I) 

Ni 2 Se 3 BeSiO 3 dióxido de estroncio 

H 2 Se Na 2 S trioxoseleniato (IV) de magnesio 

65


CuNO 3 H 3 AsO 3 tetraoxosilicato (IV) de germanio (IV) 

H 2 Cr 2 O 7 H 2 O trioxotelurato (IV) de hidrógeno 

RaH 2 SiO heptaoxido de dicloro 

PH 3 H 4 P 2 O 7 tetraoxocromato (VI) de hidrógeno 

Br 2 O 7 RaMnO 4 bromuro de hidrógeno 

SnTe 2 HI hexaóxido de diindio 

Pt(ClO 4 ) 2 LiIO tetraoxoarseniato (V) de plomo (II) 

Cr(OH) 2 SiH 4 monotelururo de niquel 

Pb(CN) 2 K 2 O 2 ácido trioxocarbónico (IV) 

CaCO 3 GaH 3 hirduro de cesio 

NaCl H 3 BO 3 tetrahidróxido de estaño 

H 4 S i O 4 PtO ácido dioxonítrico (III) 

óxido de calcio cloruro de calcio Fe 2 O 3 

ácido hipocloroso hidruro de magnesio HIO 

bromuro de hidrógeno seleniato de oro (I) Ni(OH) 3 

ácido sulfúrico carbonato de calcio HNO 2 

óxido de yodo (VII) peróxido de berilio MgH 2 

bromato de mercurio (II) fosfito de cadmio NH 4 NO 3 

bromuro de oro (I) telurito estaño (IV) AgOH 

ácido fosforoso óxido de teluro (VI) OF 2 

peróxido de niquel (III) hidróxido de manganeso (III) PbSiO 4 

ácido bromoso ácido difosfórico CoBr 3 

ortosilicato de berilio acido sulfhídrico Co 2 (SO 3 ) 3 

óxido de nitrógeno (IV) clorito de rubidio HClO 3 

ácido ortosilícico hidruro de cadmio Au(ClO 4 ) 3 

pirofosfato de hierro (III) telururo de niquel (II) MgCO 3 

óxido de cobalto (III) ácido sulfuroso PbO 2 

hidróxido de galio hidróxido de estaño (II) HAsO 3 

ácido clorhídrico ácido nítrico H 2 S 

nitrito de cobalto (II) telururo de hidrógeno SbH 3 

sulfato de magnesio peróxido de rubidio Li 2 O 2 

66


hidruro de sodio hipoyodito de niquel (III) H 2 SeO 3 

sulfuro de platino (IV) nitrato de estaño (II) Pt(OH) 4 

ácido selenioso óxido de alumnio I 2 O 7 

hidróxido de talio (I) ácido carbónico Pt(SeO 4 ) 2 

ácido selenhídrico ácido yódico NI 3 

oxígeno hidróxido de cobalto (II) H 2 CO 3 

ácido ortoarsénico óxido de silicio (II) NaH 

peróxido de estroncio nitrato de magnesio HF 

hidruro de radio neón PbTe 

arseniato de talio (I) óxido de litio CO 2 

ácido metasilícico sulfito de estroncio H 2 TeO 4 

perbromato de amonio ácido perclórico HI 

ácido telúrico ácido yodhídrico Ca 3 (PO 4 ) 2 

hidróxido de litio ácido nitroso CaO 2 

67


68


ESTEQUIOMETRÍA 

Parte de la química que estudia las cantidades de sustancias que intervienen 

en las reacciones químicas. 

Empezaremos el presente tema recordando algunos conceptos básicos de 

cursos anteriores. 

1.- Cantidad de sustancia: el mol. 

Cantidad de sustancia es el número de unidades elementales contenidas en la 

muestra a la que nos estemos refiriendo. Puesto que, en química estos números 

pueden resultar demasiado grandes para manejarlos cómodamente, definimos como 

unidad para cantidad de sustancia, el mol: 

1 mol = 6,02·10 23 unidades 

definición esta absolutamente equivalente a la de docena o centena. 

Al número que aparece en la definición se le conoce como Número de 

Avogadro, N A = 6,02·10 23 , y la razón de que sea éste y no otro se verá enseguida. 

Aunque la utilización del mol se hace fundamentalmente en química, se puede 

extender a cualquier objeto, de forma que igual que se habla de 1 mol de átomos o 

moléculas se podría hablar de moles de pesetas o de sillas. 

2.- Masa y volumen molares. 

Masa o volumen molares es la masa o volumen de un mol de la sustancia 

indicada. Siempre que no se especifique lo contrario nos referiremos a un mol de 

moléculas de la sustancia considerada, pero puede especificarse que nos referimos a 

un mol de átomos, de iones, etc. 

El número de Avogadro N A , está elegido de tal manera que la masa de 1 mol de 

átomos o moléculas resulta ser el mismo número, expresado en gramos, que 1 sólo 

átomo o molécula expresado en umas. Representaremos ambas cosas con la misma 

notación, distinguiendo únicamente con las unidades, de forma que: 

M(O)=16 uma ---> masa de 1 átomo de oxígeno 

M(O 2 )=32 uma ---> masa de 1 molécula de oxígeno 

M(O)=16 g/mol ---> masa de 1 mol de átomos de oxígeno 

M(O 2 )=32 g/mol ---> masa molar del oxígeno (de 1 mol de moléculas) 

Utilizaremos con frecuencia la masa molar como un factor de conversión, en la 

que los dos términos de la correspondiente fracción no son ahora iguales, sino que 

69


representan una equivalencia, válida únicamente para la sustancia considerada. Así 

por ejemplo, el oxígeno será manejado con el siguiente factor: 

32 g de O 2 1 mol de O 2 

ordenado según proceda de una de las dos siguientes maneras: 

32 g de O2 

1mol de O 

2 

ó 

1mol de O 

32 g de O 

2 

2 

La cantidad de sustancia contenida en una muestra la representaremos 

por ‘n’, y dadas las definiciones anteriores, se calcula fácilmente mediante la 

relación: 

n 

m g 

= ( ) 

M 

donde m(g) es la masa en gramos de la muestra y M la masa de 1 mol de lo que 

corresponda (átomos, moléculas, iones,...). 

El número de unidades podrá calcularse mediante: nº unidades = N = n· N A 

Volumen molar es el volumen de 1 mol de la sustancia que corresponda. Si 

dicha sustancia es tal que cuando se encuentra en condiciones normales (presión P = 

1 atm., temperatura T = 0 ºC = 273 ºK) puede ser considerada como un gas perfecto, 

entonces su volumen molar, en dichas condiciones, es de 22,4 litros. 

Para cualquier gas perfecto, que se encuentre en condiciones normales, 

podremos utilizar el siguiente factor de conversión: 

1 mol de gas 22,4 litros de gas 

3.- Concentración de las disoluciones. 

Una disolución es una mezcla homogénea de dos o más sustancias diferentes, 

la mayoría de las disoluciones usadas en laboratorio tienen únicamente dos 

sustancias. A una de ellas se le llama disolvente y a la otra u otras soluto. La 

denominación de disolvente no es absolutamente estricta, habitualmente se denomina 

disolvente a la sustancia que ha conservado su estado líquido, o a la que está en 

mayor proporción, dando siempre cierta preferencia al agua como disolvente. 

La concentración de una disolución mide la proporción en la que el soluto se 

encuentra en relación con la disolución o con el disolvente. Existen varias maneras de 

medir la concentración, las que estudiaremos en el presente curso son: 

70


% en masa, que indica los gramos de soluto que hay en cada 100 g de disolución. 

Evidentemente se puede redefinir el % en masa utilizando Kg o toneladas, y si suele 

hacerse con gramos es únicamente por que es la unidad de masa más utilizada en 

química. 

Calcularemos esta concentración a partir de la siguiente expresión: 

C(%m) = 

m 

m 

soluto 

disolución ·100 

donde las masas de soluto y disolución pueden ponerse en cualquier unidad, con la 

única condición de que ambas estén en la misma. 

Utilizaremos esta concentración en los problemas mediante un factor de 

conversión, en la que los dos términos de la correspondiente fracción no son ahora 

iguales, sino que representan una equivalencia, válida únicamente para la disolución 

que se considera. Así por ejemplo, en una disolución al 20 % en masa de sal será 

manejada con el siguiente factor: 

20 g de sal 100 g de disolución 

ordenado según proceda de una de las dos siguientes maneras: 

20 g de sal 

100 g de disolución 

ó 

100 g de disolución 

20 g de sal 

% en volumen (para líquidos y gases) que indica los litros de soluto que hay en cada 

100 litros de disolución. Evidentemente se puede redefinir el % en volumen utilizando 

cualquier otra unidad de volumen como el cm 3 o el m 3 . 

Calcularemos esta concentración a partir de la siguiente expresión: 

C(%V) = 

V 

V 

soluto 

dislución ·100 

En el caso de gases, el volumen de sóluto debe entenderse como el 

volumen que ocuparía dicho gas si se encontrase sólo y en las mismas condiciones de 

presión y temperatura. 

Todos los comentarios hechos para el caso anterior (% en masa) son válidos 

aquí también, incluidos los referidos a factores de conversión. 

71


Concentración en gramos/litro, que indica los gramos de soluto contenidos en 

cada litro de disolución. En este caso el uso de las unidades indicadas es 

obligado. 

C(g/l) = 

m( g) 

V ( l) 

soluto 

disolución 

[C(g/l)] = g/l 

En este caso el factor de conversión apropiado para una disolución de 20 g/l de 

sal será: 

20 g de sal 1 litro de disolución 

Molaridad, que indica los moles de soluto contenidos en cada litro de disolución, y 

que calcularemos mediante: 

M = 

n 

V l 

soluto 

( )disolución 

[M] = moles/l 

En este caso el factor de conversión apropiado para una disolución de 0,5 

moles/l de sal será: 

0,5 moles de sal 1 litro de disolución 

4.- Cálculos en las reacciones químicas 

Realizaremos los cálculos en las reacciones químicas siguiendo 

rigurosamente y en orden cada uno de los cuatro pasos siguientes: 

1. Escribir y ajustar la ecuación química correspondiente. 

2. Pasar el dato a moles. 

3. Obtener los moles de la(s) incógnita(s) utilizando los coeficientes 

estequiométricos de la ecuación ajustada. 

4. Pasar los moles de la(s) incógnita(s) a la unidad que pidan. 

Describiremos a continuación y en detalle como realizar cada uno de estos 

pasos. 

4.1.- Escribir y ajustar la ecuación química correspondiente 

Una reacción química es un proceso mediante el cual una o varias sustancias 

se transforman en otra u otras diferentes. Las sustancias iniciales se llaman 

reactivos, y las que se obtienen productos. 

Este proceso se produce por la rotura de enlaces químicos que unen los 

átomos de los reactivos y la formación de otros nuevos, que dan lugar a los 

productos. Esta forma de realizarse las reacciones químicas implica, evidentemente, 

72


la conservación de los átomos que interviene en la misma, y por tanto de la masa 

inicial y final en la reacción. 

Una ecuación química es la representación mediante símbolos y fórmulas de 

una reacción química. 

reactivos producto 

H 2 + O 2 H 2 O 

La ecuación anterior nos dice que el hidrógeno reacciona con el oxígeno para 

dar agua, dicha ecuación sin embargo no está ajustada, ya que no se cumple la 

conservación de átomos. 

Ajustaremos las ecuaciones químicas por tanteo, es decir, poniendo delante 

de las fórmulas de las sustancias unos coeficientes que indican el número de 

moléculas de cada clase que han de intervenir para que la conservación de átomos 

se cumpla. No hay reglas fijas para realizar este ajuste, pero si algún consejo útil, 

como dejar aquellos elementos que se encuentran solos para el final. Para ajustar la 

ecuación anterior seguiríamos el siguiente proceso: el hidrógeno se encuentra 

ajustado, ya que hay dos átomos a cada lado de la ecuación, no así el oxígeno, ya 

que hay dos átomos entre los reactivos y sólo uno entre los productos, podemos 

solucionar este inconveniente poniendo un ½ delante de la molécula de oxígeno, ya 

que “media molécula” de oxígeno contendría un solo átomo, es decir: 

H 2 + ½ O 2 H 2 O 

la ecuación está ahora ajustada, pero produce sin embargo cierta incongruencia, ya 

que no es posible hablar de “medias moléculas” de ninguna sustancia, pero 

podemos remediar este problema multiplicando por 2 toda la ecuación anterior, 

quedando: 

2 H 2 + O 2 2 H 2 O 

Coeficientes estequiométricos son los números enteros, y más 

pequeños posibles, que ajustan una ecuación química. En nuestro caso (2 , 1 , 

2). La ecuación, ya ajustada nos dice que dos moléculas de H 2 reaccionan con una 

molécula de O 2 para dar dos moléculas de H 2 O. La utilización de los coeficientes 

estequiómétricos no es imprescindible para los problemas que nos atañen, pero es 

aconsejable su utilización por cuestiones de coherencia. 

Conviene observar que si la última ecuación se multiplica por cualquier 

número entero seguirá ajustada, por ejemplo si multiplicamos por 2 ó 5 quedaría: 

4 H 2 + 2 O 2 4 H 2 O 

ó 

10 H 2 + 5 O 2 10 H 2 O 

lo cual nos indicaría que cuatro o diez moléculas de H 2 reaccionan con dos o cinco 

moléculas de O 2 para dar cuatro o diez moléculas de H 2 O, esto nos da entender que 

73


la ecuación ajustada puede ser multiplicada por cualquier número entero y seguirá 

proporcionando una información correcta. 

En consecuencia, podemos multiplicar la ecuación anterior por el número de 

Avogadro (N A = 6,02·10 23 ) con lo que quedaría: 

2·N A H 2 + N A O 2 2·N A H 2 O 

ecuación esta que puede ser leída como: dos moles de H 2 reaccionan con un mol de 

O 2 para dar dos moles de H 2 O, es decir, la misma lectura inicial pero cambiando 

moléculas por moles. 

A partir de la ecuación ajustada podemos escribir por tanto los tres factores 

de conversión siguientes: 

2 moles de H 2 1 mol de O 2 

2 moles de H 2 2 moles de H 2 O 

1 mol de O 2 2 moles de H 2 O 

4.2.- Pasar el dato a moles 

El dato que se nos proporciona para realizar nuestros cálculos 

estequiométricos será una cantidad de alguno de los reactivos o productos, para a 

partir de él calcular cantidades de algunos otros reactivos o productos. 

Este dato puede estar dado de varias maneras, y según cual sea la forma en 

la que nos lo den habrá que utilizar ninguno, uno o varios factores de conversión, de 

cambio de unidades o de los vistos en este tema o en temas anteriores, para 

transformarlo convenientemente en moles de reactivo o producto. Veremos a 

continuación algunos ejemplos: 

Dato: 

100 Kg de Fe 

1000 g de Fe 1mol de Fe 

100 Kg de Fe· 

· = 1786 moles de Fe 

1Kg de Fe 56 g de Fe 

Dato: 

5 litros de aire en C.N. con 21 % en volumen de oxígeno 

21litros de O 1mol de O 

5 litros de aire· 

= 

100 litros de aire 

2 2 

· 

0,0469 moles de O2 

22,4 litros de O2 

Si el volumen de gas no estuviese dado en condiciones normales (entonces el 

volumen de un mol no son 22,4 litros), será necesario utilizar la ecuación de estado 

de los gases perfectos: P·V = n·R·T 

74


4.3.- Obtener los moles de las incógnitas utilizando los coeficientes estequiométricos 

Realizaremos este paso utilizando los factores de conversión indicados en el 

apartado 4.1, así por ejemplo, si la reacción que se nos ha dado es la de la síntesis 

del agua, el dato una vez pasado a moles son 0,0469 moles de oxígeno, y se nos 

piden datos sobre el agua obtenida, haremos: 

1mol de H 

2O 

0,0469 moles de O2 · 

= 0,0234 moles de H 

2O 

2 moles de O 

2 

4.4.- Pasar los moles de las incógnitas a la unidad que pidan 

Este paso es exactamente inverso al del apartado 4.2 y se realizará 

invirtiendo los factores de conversión y su orden de aplicación. Debería quedar 

suficientemente claros con los ejemplos que siguen. 

5.- Ejercicio resueltos 

El Laboratorio químico de un departamento de policía analizó una sustancia que 

sospechaba que contenía PAX (un calmante ilegal de fórmula C 24 H 30 N 3 O). Al 

quemar el compuesto se obtiene: 

C 24 H 30 N 3 O + O 2 CO 2 + H 2 O + NO 2 

Se quemó una muestra de 20 g, si se trataba de PAX ¿qué volumen de CO 2 

en CN debía recogerse, y que masa de agua se obtendría. 

Sol: 28,6 litros 

Empezaremos por ajustar la ecuación química. Siguiendo el 

consejo dado dejaremos el ajuste del oxígeno para el final, ya 

que se encuentra puro en uno de los términos de la ecuación. 

Entre los reactivos tenemos 24 átomos de C, 30 átomos de H y 

3 átomos de N, para ajustar estos átomos tendremos que poner 

24 moléculas de CO 2 , 15 moléculas de H 2 O y 3 moléculas de 

NO 2 , es decir: 

C 24 H 30 N 3 O + O 2 24 CO 2 + 15 H 2 O + 3 NO 2 

para ajustar ahora el oxígeno contamos los átomos de oxígeno 

que tenemos entre los productos, estos son: 24·2 + 15·1 + 3·2 

= 69, y entre los productos tenemos: 1·1 + 1·2 = 3. Podemos 

ajustar el oxígeno fácilmente poniendo 34 moléculas de O 2 , y 

puesto que este coeficiente no afecta o otros átomos 

tendremos la ecuación ajustada, quedando: 

Paso 1 

C 24 H 30 N 3 O + 34 O 2 24 CO 2 + 15 H 2 O + 3 NO 2 

75


Puesto que el dato que nos dan es masa de C 24 H 30 N 3 O y nos piden masa de H 2 O, 

necesitaremos hacer los pasos Masa moles para estas sustancias, por lo que 

necesitaremos sus masas molares. Empezaremos por calcularlas: 

M(C 24 H 30 N 3 O) = 24·12 + 30·1 + 3·14 + 1·16 = 376 g/mol 

M(H 2 O) = 2·1 + 1·16 = 18 g/mol 

Calcularemos ahora el volumen de CO 2 en CN que debía recogerse partiendo de 

nuestro dato, 20 g de PAX. 

Paso 2 Paso 3 Paso 4 

1mol de PAX 

20 g de PAX · 

376 g de PAX 

· 

24 moles de CO 

1mol de PAX 

2 

· 

22,4 litros de CO 

1mol de CO 

2 

2 

= 

28,6 litros de CO 2 

Calcularemos ahora la masa de agua, podríamos hacerlo partiendo de nuestro 

resultado anterior, 28,6 litros de CO 2 en CN, hay sin embargo dos buenas razones 

para no hacerlo, 1ª si nuestro cálculo anterior estuviese afectado de algún error, 

incluso en los redondeos, éste se transmitiría a los cálculos posteriores, 2ª si 

volvemos a partir de 20 g de PAX podremos copiar literalmente el paso 2. 

Paso 2 Paso 3 

Paso 4 

1mol de PAX 

20 g de PAX · 

376 g de PAX 

· 

24 moles de CO 

1mol de PAX 

2 

· 

22,4 litros de CO 

1mol de CO 

2 

2 

= 

14,4 g de H 2 O 

76


Calcula el volumen de aire, medido a 720 mm de Hg y 25 ºC con 20 % en 

volumen de oxígeno, que se consumirá y la masa de CO 2 que se obtendrá al 

quemar 5 Kg de butano según la ecuación: 

C 4 H 10 + O 2 CO 2 + H 2 O 

Como entre los reactivos hay 4 átomos de C y 10 átomos de H, 

ajustaremos estos átomos poniendo 4 moléculas de CO 2 y 5 

moléculas de H 2 O, quedando: 

C 4 H 10 + O 2 4 CO 2 + 5 H 2 O 

tenemos entonces, entre los productos 4·2 + 5·1 = 13 

átomos de oxígeno, y entre los reactivos sólo 2, ajustaremos 

entonces el oxígeno poniendo “13/2 de moléculas de O 2 ” que 

contendrían 13 átomos, es decir: 

13 

O2 4 CO 2 + 5 H 2 O 

C 4 H 10 + 2 

Paso 1 

La ecuación está así ajustada y podemos trabajar con ella, 

pero resulta algo chocante pues no existen “medias moléculas 

de O 2 ” (aunque si medios moles), por lo que resulta 

conveniente multiplicar toda la ecuación por 2 para obtener los 

coeficiente estequiométricos, obteniendo: 

2 C 4 H 10 + 13 O 2 8 CO 2 + 10 H 2 O 

Puesto que nos dan masa de butano y nos piden masa de CO 2 , necesitaremos las 

masa molares de estos compuestos para hacer los pasos masa moles. 

M(C 4 H 10 ) = 4·12 + 10·1 = 58 g/mol 

M(CO 2 ) = 1·12 + 2·16 = 44 g/mol 

1000 g de butano 

5 Kg butano · 

1Kg de butano 

paso 2 paso 3 

1mol de butano 

· 


13 moles de O 

2 

· 

= 560 moles O 2 

2 moles de butano 

En este caso al no encontrarse el aire (ni el oxígeno) en CN tendremos que recurrir a 

la ecuación de estado de los gases perfectos. 

de P·V = n·R·T 

720 

· V = 560 · 0,082 · (273 + 25) 

760 

→ 

V = 14.444 litros de O 2 

paso 4 

14.444 litros de O 

2 

100 litros de aire 

· 

20 litros de O 

2 

= 

72.220 litros de aire 

77


Calcularemos ahora la masa de CO 2 , para ello copiamos literalmente el paso 2 del 

apartado anterior. 

paso 2 paso 3 paso 4 


5 Kg butano · 

1Kg de butano 

1mol de butano 

· 


8 moles de CO 

2 

44 g de CO 

· 

· 

2 moles de butano 1mol de CO 

2 

2 

= 

= 

15.172 g de CO 2 

PROBLEMAS 

1.- El monóxido de carbono puede reaccionar con hidrógeno dando metano y agua 

según la ecuación: 

CO + H 2 CH 4 + H 2 O 

Si se obtienen 4 moles de metano, calcula los moles de monóxido de carbono e 

hidrógeno que se gastaron. 

Sol: 4 moles, 12 moles 

2.- Calcula la masa de CO 2 que se obtendrá y los moles de O 2 que se consumirán al 

quemar 220 g de propano según la reacción: 

Sol: 660 g , 25 moles 

C 3 H 8 + O 2 CO 2 + H 2 O 

3.- A partir del oxido de hierro (III) podemos obtener hierro puro mediante la siguiente 

reacción: 

Fe 2 O 3 + C Fe + CO 2 

Calcula la masa de óxido que necesitamos para obtener 1 Kg de hierro. 

Sol: 1,43 Kg 

4.- El potasio reacciona con agua según la reacción: 

K + H 2 O KOH + H 2 

Calcula la masa de potasio que se consume y los moles de hidrogeno que se obtienen 

si se han gastado 90 g de agua. 

Sol: 195 g, 2,5 moles 

5.- Un método para obtener Cinc a partir de óxido de Cinc consiste en mezclar el óxido 

con coque en polvo, la ecuación química es: 

ZnO (s) + C (s) CO (g) + Zn (s) 

Si deseamos obtener 250 Kg de cinc, halla la masa de ZnO y C necesaria. 

Sol: 312 Kg de ZnO, 46 Kg de C 

78


6.- El cloro puro se puede obtener a partir de la reacción: 

NaCl + H 2 O NaOH + H 2 + Cl 2 

calcula la masa de NaCl necesaria para obtener 224 litros de cloro en condiciones 

normales. 

Sol: 1170 g 

7.- En laboratorio se puede obtener cloro a partir de la siguiente reacción: 

MnO 2 + HCl MnCl 2 + Cl 2 + H 2 O 

Calcula los moles de cloro que se obtendrán a partir de 25 g de dióxido de 

manganeso. Sol: 0,29 moles 

8.- Algunos cohetes utilizan como combustible una mezcla de hidracina (N 2 H 4 ) y 

agua oxigenada, que reaccionan dando nitrógeno y agua según la ecuación: 

N 2 H 4 + H 2 O 2 N 2 + H 2 O 

Calcula la masa de agua oxigenada necesaria para consumir completamente 640 g 

de hidracina y el volumen de nitrógeno a 2 atm y 500 ºC que se obtendrá. 

Sol: 1360 g ; 634 litros 

9.- La pólvora es una mezcla de nitrato de potasio, azufre y carbono que se quema 

según la reacción: 

10 KNO 3 + 3 S + 8 C ---> 3 K 2 SO 4 + 2 K 2 CO 3 + 6 CO 2 + 5 N 2 

si disponemos de 120 g de nitrato de potasio, calcula la masa de carbono y azufre 

necesaria, y el volumen de gases en CN que se obtendrá. 

Sol: 11,4 g ; 11,4 g; 29,3 litros 

10.- El dióxido de azufre se oxida dando trióxido de azufre: 

SO 2 + O 2 SO 3 

Calcula la masa de trióxido de azufre que se obtendrá al hacer reaccionar 80 g de 

dióxido de azufre. 

Sol: 100 g 

11.- El ácido clorhídrico reacciona con zinc dando cloruro de zinc e hidrógeno: 

HCl + Zn ZnCl 2 + H 2 

Calcula el volumen de una disolución de ácido clorhídrico de concentración 0,5 

moles/l necesarios para consumir completamente 130 g de zinc. 

Sol: 8 litros 

12.- El hierro y el cromo que se utilizan en la fabricación de acero cromado puede 

obtenerse haciendo reaccionar la cromita, FeCr 2 O 4 , con coke, C, mediante el 

siguiente proceso: 

FeCr 2 O 4 + C Fe + Cr + CO 

Calcula la masa de cromo que se obtendrá al hacer reaccionar 16 T de cromita. 

Sol: 7,43 T 

13.- El clorato de potasio se puede descomponer dando cloruro de potasio y 

oxígeno: 

KClO 3 KCl + O 2 

Calcula la masa de clorato necesaria para obtener 50 g de oxígeno. 

Sol: 331 g 

79


14.- El carbonato de calcio (mármol) reacciona con ácido clorhídrico según la reacción: 

CaCO 3 + HCl CaCl 2 + CO 2 + H 2 O 

Calcula la masa de mármol que se consumirá y el volumen de CO 2 en CN que se 

obtendrá con 200 g de disolución de ácido de concentración 30 % en masa. 

Sol: 82g 18,3 litros 

15.- En 200 cm 3 de una disolución de ácido nítrico de concentración 3 moles/l se añade 

cantidad suficiente de carbono, reaccionando según la ecuación: 

HNO 3 + C CO 2 + NO + H 2 O 

Calcula la masa de agua y los moles de dióxido de carbono que se producen. 

Sol: 5,4 g 0,45 moles 

16.- El octano (C 8 H 18 ) es el principal componente de la gasolina y se quema 

produciendo dióxido de carbono y agua. El depósito de un coche tiene una 

capacidad de 60 litros y la densidad del octano es de 0,7 g/cm 3 . ¿Qué volumen de 

aire a 765 mm de Hg y 25 ºC con un contenido del 21 % en volumen de oxígeno se 

necesita para quemar un depósito de gasolina. Supón que la gasolina está 

compuesta únicamente por octano. 

Sol: 532708 litros 

80

x - ies ana maría matute

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