Capítulo 5: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

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Capítulo 5: Funciones de varias variables
5.2 Derivadas parciales
Suponga que tenemos una función f en dos variable x y y. Si dejamos una variable fija, por
ejemplo la x, asumiendo un valor a y variamos la y, podemos ver en cierta manera que tenemos una
función de una sola variable dada por g( y)
f ( a,
y)
. Podemos entonces considerar derivar g con
respecto a su variable, el resultado es la derivada parcial de f con respecto a la variable y en ( a , y)
. En
este caso la notación empleada está dada bien por f y ( a,
y)
o por la notación de Leibniz:
f
( x,
y)
. A continuación establecemos la definición formal de derivadas parciales para funciones
y
( a.
y)
en dos variables:
Definición.- Sea f una función en las variables x y y. Lla derivada parcial de f con respecto a
x está definida por
f
( x,
y)
f ( x h,
y)
f ( x,
y)
lim
x
h0
h
siempre y cuando este límite exista.
La derivada parcial de f con respecto a y está definida por.
f
( x,
y)
lim
y
h0
siempre y cuando este límite exista.
f ( x,
y h)
h
f ( x,
y)
f
Observación: El símbolo se lee derivada parcial de f con respecto a x. Si los valores de f son
x
z
representados por z, esto es si z f ( x,
y)
entonces también usamos notaciones como para las
x
derivadas parciales.
Otras notaciones usadas para las derivadas parciales están dadas por
las parciales con respecto a x y y respectivamente.
f x y
f y , para referirse a
CÁLCULO DE DERIVADA PARCIALES
Para calcular derivadas parciales nos valemos de las reglas existentes para una sola variable. Si
f
por ejemplo queremos calcular consideramos a y como una constante y derivamos con respecto
x
f
la x. Si queremos calcular se deriva con respecto a y manteniendo a x como una constante.
y
f
f
Ejemplo 1.- Calcule y para
x
y
2
f ( x,
y)
3x
4xy
5y
f
Solución: Primero calculamos . Derivamos como una suma, recuerde que y se comporta como
x
una constante
f 2 3
(3x
) (4xy)
(5y
)
En el segundo factor sacamos 4y de factor constante.
3
x
x
x
x
El término (5y ) se comporta como una constante, su
derivada es 0
3