Capítulo 5: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

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Capítulo 5: Funciones de varias variables
Efectivamente cada uno de estos puntos satisface las dos ecuaciones del sistema de
ecuaciones.
Para funciones de tres o más variables (asuma que las derivadas parciales existen y son
continuas), los conceptos anteriores pueden extenderse rápidamente. Por ejemplo si tenemos
w f ( x,
y,
z)
es claro cuales deben ser las definiciones de máximos y mínimos relativos y los puntos
críticos definidos como las soluciones del sistema
f x ( x,
y)
0
f y ( x,
y)
0
f z ( x,
y)
0
son los únicos candidatos a máximos y mínimos relativos.
Ejemplo 4.- Encontrar los puntos críticos de la función f ( x,
y,
z)
x xy 3xz
2z
z .
Solución:
1.- Conseguimos primero las derivadas parciales de primer orden:
f x ( x,
y)
2x
y 3z
f y
( x,
y)
x
f z ( x,
y)
3x
2 2z
f x ( x,
y)
0
2.- Planteamos el sistema de ecuaciones f y ( x,
y)
0
f z ( x,
y)
0
En este caso queda:
2x
y 3z
0
x 0
3x
2 2z
0
Este sistema de ecuaciones lineales tiene como solución x 0,
y 3
y z 1
.
Ejemplo 5.- Encontrar los puntos críticos de la función f ( x,
y,
z)
x y xyz z .
Solución:
1.- Conseguimos primero las derivadas parciales de primer orden:
( x,
y)
2x
yz
f x
f y
f z
( x,
y)
2y
xz
( x,
y)
xy
1
f x ( x,
y)
0
2.- Planteamos el sistema de ecuaciones f y ( x,
y)
0
f z ( x,
y)
0
2x
yz 0
En este caso queda 2y
xz 0
xy 1 0
De nuevo estamos ante un sistema de ecuaciones no lineal, donde las variables si están
interrelacionadas. En este sistema podemos despejar una de las variables en una ecuación y
sustituirla en las otras ecuaciones, formando con estas últimas un sistema de dos ecuaciones con dos
incógnitas que se intenta de resolver con las ideas vistas. En este caso podemos despejar cualquiera
de las variables. Despejamos y en la tercera ecuación:
2
2
2
2