Capítulo 5: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

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Capítulo 5: Funciones de varias variables
Calculamos
D( x,
y)
f ( x,
y)
f ( x,
y)
f ( x,
y)
xx
yy
2
xy
2
2 2
12x
8 12y
0
D ( x,
y)
Ahora evaluamos D en el punto crítico
D ( 0,0) (0)( 8)
0 0
El criterio no es concluyente.
Comentario.- En el ejercicio anterior podemos emplear un tipo de argumento, usando características
propias de la función para determinar que tipo de punto crítico es. En este caso podemos ver la función
como
2 4 4
f ( x,
y)
4
4y
x y
0
Para clasificar el punto crítico (0,0) de f usamos el siguiente argumento: Los últimos términos de la
función son menores o iguales a cero, por tanto f ( x,
y)
4 y es 4 cuando x 0 y y 0 . Así 4 es
el máximo valor de f y se alcanza en (0,0).
Observe que no sólo concluimos que es un máximo relativo si no también absoluto.
.
Ejercicio de desarrollo.- a) Encontrar los máximos y mínimos relativos de la siguiente función:
x
2 2 y
2 xy12x
f ( x,
y,
z)
e . b) Verifique que g(
x,
y,
z)
x 2y
xy 12x
alcanza sus extremos en
los mismos puntos ( x,
y)
que f .
2
2
PROBLEMAS
Ejemplo 8.- Encontrar las dimensiones de una caja rectangular sin tapa de volumen igual a 250cc. que
tiene el área más pequeña.
Solución: Realizamos un dibujo donde señalamos el significado de la variables.
Queremos encontrar el área mínima.
El área puede ser expresada como
A 2 xz 2yz
xy
y ella tiene que cumplir la condición
Volumen=250cc.
Esta condición o restricción está expresado en término de las variables como:
xyz 250 (ecuación de restricción)
Con esta condición podemos expresar A como función de dos variables, por ejemplo de x y y
despejando z en xyz 250 y sustituyéndola en A 2 xz 2yz
xy . Esto es