Capítulo 5: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

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Capítulo 5: Funciones de varias variables
f x ( x,
y)
0
2.- Planteamos el sistema de ecuaciones
f y ( x,
y)
0
En este caso queda
2x
y 0 (1)
2y
x 2 0 (2)
Este es un sistema de ecuaciones lineales. Podemos en este caso resolverlo con cualquiera de los
métodos existente. Usamos el método de reducción. Multiplicamos por -2 la primera ecuación
4x
2y
0
2y
x 2 0
y sumamos ambas ecuaciones para obtener:
3x
2 0
2
x
3
2
Para encontrar y cuando x sustituimos en (1) o (2), la que consideremos más fácil de resolver,
3
escogemos (1)
2
2
y 0
3
4
y 0
3
4
y
3
2 4
En conclusión el único punto crítico de la función es el punto ( , ) .
3 3
3 4
Ejemplo 2.- Encontrar los puntos críticos de la función f ( x,
y)
x y 3xy
.
Solución:
1.- Conseguimos las derivadas parciales de primer orden:
f x ( x,
y)
3x
2 3y
3
f y ( x,
y)
4y
3x
f
x
( x,
y)
0
2.- Planteamos el sistema de ecuaciones
f y ( x,
y)
0
En este caso queda:
2
3x
3y
0 (1)
3
4y
3x
0 (2)
Este es un sistema de ecuaciones no lineal. Este sistema cae en la situación en que podemos despejar
una de las variables en una ecuación y sustituirla en la otra ecuación. En este caso podemos despejar
tanto x como y. Despejamos y en la primera ecuación
y x
4y
3
23x 0
y la sustituiremos en la ecuación (2)
4( x
2
)
3
3x
0
4x
6 3x
0