Capítulo 5: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

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Capítulo 5: Funciones de varias variables
CRITERIO DE LAS SEGUNDAS DERIVADAS PARA CLASIFICAR
LOS PUNTOS CRÍTICOS
Este criterio es la versión del criterio de la segunda derivada para clasificar puntos críticos de
una función en una sola variable.
Esta versión para dos variables se basa en una cantidad D que depende de ( x 0 , y0
) . Si esta
cantidad es positiva o negativa se concluirá si la función f alcanza o no un extremo relativo en este
punto. Luego, si tiene extremo, se procederá a examinar si es máximo o mínimo relativo a través de
f xx .
Criterio de las segundas derivadas.- Sea f una función de dos variables y ( x 0 , y0
) un punto
crítico de f donde las primeras derivadas se anulan, tal que en una vecindad de este punto las
segundas derivadas parciales son continuas. Sea
D D( x
2
0
, y0
) f
xx
( x0
, y0
) f
yy
( x0
, y0
) f
xy
( x0
, y0
)
1.- Si D 0 entonces se alcanza un extremo relativo en ( x 0 , y0
) y
1.1 Si f xx ( x0 , y0
) 0 entonces f ( x 0 , y0
) es un mínimo relativo.
1.2 Si f xx x , y ) 0 entonces f x 0 , y ) es un máximo relativo.
( 0 0
( x 0 , y0
( 0
2.- Si D 0 entonces f ) no es un extremo relativo.
3.- Si D 0 el criterio no es concluyente.
Observaciones y comentarios:
1.- Si un punto crítico no es un extremo local entonces se llama un punto de silla de f.
2.- Resulta útil memorizarse la fórmula de D como un determinante
f xx f xy
2
D f xx f yy f xy
f f
xy
yy
3.- El lector podrá observar la similitud de clasificación de puntos críticos en los puntos 1.1 y 1.2 con
relación al criterio de la segunda derivada en una sola variable. Le puede resultar conveniente que
cada vez que aplique este criterio asocie extremos relativos y concavidad en la dirección de las x para
recordar este criterio.
Ejemplo 6.- Encontrar los máximos y mínimos relativos de la siguiente función:
2 3
f ( x,
y)
x y 3xy
Solución:
1.- Conseguimos primero los puntos críticos:
f x ( x,
y)
2x
3y
2
f y
( x,
y)
3y
3x
Planteamos el sistema de ecuaciones
f x ( x,
y)
0
f y ( x,
y)
0
En este caso queda
2x
3y
0 (1)
2
3y
3x
0 (2)
Solucionamos este sistema despejando una de las variables en una de las ecuaciones y sustituyéndola
en la otra ecuación. En este caso despejamos x en la segunda ecuación y la sustituimos en la primera.