Capítulo 5: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

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Capítulo 5: Funciones de varias variables
5.4 Derivación de orden superior
Si f es una función en las variables x y y entonces, en general, las derivadas parciales son
funciones también de x y y , y por tanto se puede calcular su derivada tanto para x como para y. Estas
derivadas se llaman segundas derivadas parciales de f y son cuatro en total. Abajo presentamos las
notaciones y su significado.
Segunda derivada Notación de subíndice Notación de Leibniz
2
f
f
x
x
f ( x,
y)
f xx ( x,
y)
x
x
2
x
2 f
f y f ( x,
y)
f
x
yx ( x,
y)
x
y
xy
f
f
( x,
y)
f ( x,
y)
y y
yy
y
y
f ( x,
y)
y
x
f
f ( x,
y)
x y
xy
2
f
2
y
f
yx
Ejemplo 1.- Encuentre las derivadas de segundo orden de f ( x,
y)
x y e .
Solución: Calculamos primero las derivadas de primer orden
x
3x
f ( x,
y)
2xy
3e
2
4
3
f y
( x,
y)
4x
y
Procedemos ahora a calcular las derivadas de segundo orden:
f
f
f
f
xx
xy
yy
yx
4 3x
4 3x
2
xy 3e
x
2y
9e
4 3x
3
2
xy 3e
y
8
2 3
2 2
4
x y y
12x
2 3
3
4
x y 8
( x,
y)
( x,
y)
xy
( x,
y)
y
( x,
y)
xy
x
Comentario: En el ejemplo anterior resultó f xy ( x,
y)
f yx ( x,
y)
. En la mayoría de los casos que
presentaremos en este texto resultará esta igualdad. Pero no siempre es así. Existe un Teorema, fuera
del alcance de estas notas, que garantiza que si las segundas derivadas parciales son continuas
entonces la igualdad se cumple.
Las notaciones para evaluar derivadas parciales de segundo orden son similares al caso de
derivadas de primer orden.
Ejemplo 2.- Encuentre
2
f
yx
(1, 2)
2
x
donde f ( x,
y)
xy ln( x 1)
.
y
Solución: Calculamos la derivada de primer orden con respecto a x. La función es reescrita como
2 1
1
f ( x,
y)
x y yx ln( x 1) . En el primer término sale y de factor constante, en el segundo
término también sale y de factor constante y derivamos con respecto a x como si fuera un producto
f
1
1 1
x
2xy
y ln( x 1) yx 2xy
y ln( x 1) y
x
x 1
x 1
2
f
2
x
2xy
ln( x 1)
yx
x 1
2
2
4
3x