Capítulo 5: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

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Capítulo 5: Funciones de varias variables
5.5 Regla de la cadena
Para derivar funciones compuestas de una sola variable podíamos usar la regla de la cadena. Si
y f (x) y x a su vez es una función de t, entonces podíamos pensar a y como función de t y para
dy dy dx
calcular su derivada lo podíamos hacer directamente por la regla de la cadena: .
dt dx dt
En el caso de varias variables tenemos muchas situaciones. Veamos la primera.
Versión 1 de la regla de la cadena.- Sea z f ( x,
y)
función con derivadas parciales continuas
y x x(t)
y y y(t)
funciones derivables. Entonces z f ( x(
t),
y(
t))
es derivable en t y
dz z
dx z
dy
dt x
dt y
dt
Observación.- Note como se ha usado los signos
función de varias variable y la notación
sola variable.
d
d
de derivadas parciales cuando corresponde a una
cuando se refiere a la derivada de una función en una
2
Ejemplo 1.- Sean z y x 1
donde x( t)
t t y y ( t)
t 2t
4. Encontrar
Solución: Por la regla de la cadena tenemos
dz z
dx z
dy
dt x
dt y
dt
2
dz y 2
3t
1
2y
x 1
2t
2
dt 2 x 1
Esta derivada la podemos expresar sólo en términos de t al hacer las sustituciones
2
y t 2t
4
dz
dt
2
2
3
2
2
3t
1
2( t 2t
4) t t 1
2t
2
( t 2t
4)
3
3
2 t t 1
2
.
dz .
dt
x t
3
t
y
Una segunda versión surge cuando tenemos z f ( x,
y)
pero ahora las variables x y y
dependen de otras dos variables u y v. Entonces podemos pensar que indirectamente z es función de u
y v. Así que tiene sentido calcular las derivadas de z con respecto a u y a v. Formalmente tenemos:
Versión 2 de la regla de la cadena.- Sea z f ( x,
y)
, x x( u,
v)
y y y( u,
v)
funciones con
derivadas parciales continuas en sus variables. Considere z( u,
v)
f ( x(
u,
v),
y(
u,
v))
entonces
z
z
x
z
y
u
x
u
y
u
y
z
z
x
z
y
v
x
v
y
v
En toda regla de la cadena tenemos tres tipos de variables: Las variables independientes, en
este caso son u y v, las variables intermedias, en este caso x y y, y por último la variable dependiente,
una sola y en este caso z.