Capítulo 5: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

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Capítulo 5: Funciones de varias variables
30
2(10 33a
b)
33 2(8 41a
b)
41
2(9 37a
b)
37
2(12
30a
b)
2(12
30a
b)
2(10 33 b)
2(8 41 b)
2(9 37 b)
0
2702 10078a
282b
0
78 282a
8b
0
0
Las soluciones dan
1206 19
b ˆ ; aˆ
.
55 55
Así la ecuación de demanda es estimada en este caso por
19 1206
q p .
55 55
EJERCICIOS 5.8
1) Encuentre los puntos críticos de las siguientes funciones.
2 2
1
1.1) f ( x,
y)
8x
2y
ln( xy)
; 1.2) f ( x,
y)
xy 2x
;
2y
2 2
1.3) f ( x,
y,
z,
w)
2xyz
w(2x
2y
3z
36)
; 1.4) f ( x,
y,
z)
5y
2x
3xz
2yz
7z
;
2
3 2 2
1.5) f ( x,
y,
z)
xy y ( z 3) ; 1.6) f ( x,
y,
z)
x y z 3x
y 4z
1.
2) Encuentre los puntos críticos de las siguientes funciones. Clasifique cada punto crítico usando el
criterio de la segunda derivada
2 2
2.1) f ( x,
y)
x y 4xy
;
2 2
2.2) f ( x,
y)
2x
y 2x
2y
3 ;
3 3
2.3) f ( x,
y)
1000 3x
12y
x y ;
2 2
2.4) f ( x,
y)
3x
y 2xy
3x
y ;
2 2
2.5) f ( x,
y)
x 3y
2xy
3x
y ;
4 1
2.6) f ( u,
v)
2uv
;
u v
3 2 3
2.7) f ( x,
y)
x 3xy
y x 200 ; 2.8)
2 2
f ( x,
y)
x y 2 ln y ;
2
2.9) f ( x,
y)
xy(2y
x)
2y(1
x ) ;
2.10) f ( u,
v)
ue
uv ;
2.11) f ( x,
y)
( x 1)(
y 1)(
x y 1)
;
3 2
2.12) f ( x,
y)
2x
3y
4xy
4 ;
3 2
2.13) f ( x,
y)
x y 4xy
;
3 3
2.14) f ( x,
y)
x y 2xy
.
1 1 1 1 1 1
Respuestas: 1.1) , ,
, , , ,
1 1 1
,
4 2 4 2 4 2 4 2 ; 1.2) , 2 ; 1.3) ( x , y,
z,
w)
(18,0,0,0)
,
8
21 7 343
( x , y,
z,
w)
(6,6,4, 24)
, ( x , y,
z,
w)
(0,18,0,0)
, ( x , y,
z,
w)
(0,0,12,0)
; 1.4)
, , ;
8 2 16
1 1
1.5) ( 1,0,3)
; 1.6) 1 , , 2 , 1 , ,2 2 2
1 / 15, 2 / 15.
1
2.1) (0,0) punto de silla; 2.2) ( ,1)
mínimo relativo; 2.3) (1,2) máximo relativo, (-1,-2) mínimo
2
relativo; (1,-2) y (-1,2) son puntos de silla; 2.4) En ( 1,3/ 2)
se alcanza un máximo relativo; 2.5) (2,-
1/2) mínimo relativo; 2.6) En (2,1/2) se alcanza un mínimo relativo; 2.7) En 1 / 3,0) se alcanza un
mínimo relativo; en 1/ 3,0
se alcanza un máximo relativo, 1 / 15, 2 / 15
y
1/ 15,2 / 15
son puntos de silla; 2.8) ( 0,1),(0, 1)
son puntos de silla; 2.9) 2 / 3, 2
y 2 / 3, 2son
puntos de silla; 2.10) ( 0, 1)
punto de silla; 2.11) (2/3,2/3) es máximo relativo, (1,1) y (1,0) son