Capítulo 5: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

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Capítulo 5: Funciones de varias variables
5.7 Derivación implícita
Suponga que z es función de las variables x y y, dada implícitamente a través de una
ecuación, por ejemplo F x, y,
z
0 , y se quiere determinar la derivada de z con respectos a alguna de
las dos variables. Muchas veces resulta imposible despejar z en función de las otras dos variables. El
método de derivación implícita no requiere el despeje de z para calcular las derivadas parciales de z
con respecto a x ó y.
Para encontrar la derivada, por ejemplo z / y
, podemos derivar con respecto a y ambos
lados de la ecuación que define a z como función de x y y. Luego se despeja z / y
. Recuerde que
x / y
0 , pues se considera que x no depende de y.
Ejemplo 1.- Encuentre
2
3yz
y
Solución:
e
y
e z
z
x
2
z / y
por el método de diferenciación parcial implícita donde
1 x 0
3yz
y
2
x
2
1
y
x
0
x se comporta como una constante
z
z
2
e z 3
z y
2y
x 1 0
y
y
Distribuimos el 3
z
z
2
e z 3z
3y
2y
x 1 0
y
y
Agrupamos los términos con z / y
en el lado izquierdo
z
z
e z 3y
3z
2y
x
2 1 Sacamos factor común z / y
y
y
z
e 3 z y 3z
2y
x
2 1
y
z
3z
2y
x 1
.
z
y
e 3y
2
Finalmente despejamos
Podemos abreviar el proceso de derivación desarrollando una fórmula para las derivadas
parciales que hace uso de la regla de la cadena. Consideremos la ecuación F x, y,
z 0 que define a
z como función de las otras variables. Si quiere conseguir z / y
, se deriva ambos miembros de la
F x y z con respecto a y, al derivar el lado izquierdo se usa la regla de la cadena:
ecuación , ,
0
Se despeja
F
x
F
y
F
z
0
x
y
y
y
z
y
z / y
y se toma en cuenta que x / y
0 y y / y
1
quedando
Se puede demostrar similarmente que
z
F
y
F
z
F
x
F
y
z
x
z
En el ejemplo anterior se tenía que Fx,
y,
z e 3yz
y x 1 x
2
z
z 3
F y 3z
2y
x 1 y F e y , efectivamente
z
z
F
y
F
y
z
.
2
2
. Observe que