CapÃtulo 5: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

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34 Capítulo 5: Funciones de varias variables 5.8 Máximos y mínimos en varias variables El desarrollo de la teoría de máximos y mínimos en funciones de varias variables es una extensión del caso de funciones de una sola variable. Definición de extremo relativo.- Una función f en dos variables tiene un máximo relativo (local) en ( x 0 , y 0 ) si f ( x0 , y0 ) f ( x , y ) para todo ( x, y) en una región rectangular que contenga a ( x 0 , y0 ) . Similarmente la función tiene un mínimo relativo en ( x 0 , y0 ) si f x , y ) f ( x, ) para todo ( x , y) en una región rectangular que contenga a x , ) . ( 0 0 y ( 0 y 0 Los máximos relativos corresponden a los picos o cimas de las montañas y los mínimos relativos a los hoyos o pozos. En los picos, alguna de las dos derivadas parciales no existe y en los hoyos o cimas de la montaña las dos derivadas parciales son cero. En todo este desarrollo supondremos que f es una función con derivadas parciales continuas. En la siguiente figura se tiene la gráfica de una función que tiene un máximo absoluto en ( x 0 , y 0 ) . Observe como las pendientes de las rectas tangentes en la dirección de ambos ejes son ceros, estas son las derivadas parciales con respecto a x y a y.
5.8 Máximos y mínimos en varias variables 35 Teorema.- Si f tiene un máximo o un mínimo relativo en x , ) y las derivadas parciales existen en ese punto y en puntos cercanos a éste entonces f x ( x f ( x y 0 0 ( 0 y 0 , y , y 0 0 ) 0 . ) 0 De manera análoga a la teoría en una sola variable, si un punto x , ) es tal que ( 0 y0 f x ( x0 , y0 ) 0 no implica que allí se alcance un extremo relativo. f y ( x0 , y0 ) 0 Pero estos puntos serán los únicos candidatos donde ocurran los máximos y mínimos relativos de la función. Definición de puntos críticos.- Un punto ( x 0 , y0 ) tal que f x ( x0 , y0 ) 0 f ( x , y ) 0 punto crítico de f. y 0 0 se lo denomina un Si los extremos relativos de una función ocurren en un punto ( x 0 , y 0 ) tal que las derivadas parciales existen en puntos cercanos a este punto entonces éste es un punto crítico donde f x ( x0 , y0 ) 0 f y ( x0 , y0 ) 0 De manera similar al caso de funciones de una sola variable, existen funciones, como la silla de montar, donde las derivadas parciales son ceros en el punto crítico y sin embargo en ese punto no se alcanza ni un máximo ni un mínimo relativo. Observe que en la dirección y la función tiene un máximo y en la dirección x tiene un mínimo. Llamaremos un punto de silla a un punto ( x 0 , y0 ) donde las derivadas parciales se hacen cero y sin embargo no se alcanza ni un máximo ni un mínimo relativo. En los siguientes ejemplos nos dedicaremos sólo a conseguir los puntos críticos, sin clasificarlos en máximos o mínimos. Ejemplo 1.- Encontrar los puntos críticos de la función f ( x, y) x y xy 2y 10 Solución: 1.- Conseguimos primero las derivadas parciales de primer orden: ( x, y) 2x y f x f y ( x, y) 2y x 2 2 2
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