Capítulo 5: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

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Capítulo 5: Funciones de varias variables
x y
Ejercicio de desarrollo.- Sean z e
2 x , x u v u
2
z
( , ) uv y y( u,
v)
uv v . Encontrar
u
z
y .
v
El lector puede fácilmente generalizar la regla de la cadena a distintas situaciones. Por ejemplo
si tenemos w f ( x,
y,
z)
, función de tres variables x , y y z los cuales son a su vez funciones de
r,s,t y u entonces podemos considerar w como función de r,s,t y u. Así tiene sentido plantearse la
derivada parcial de w con respecto a cualquiera de estas cuatro variables. Para obtener, por ejemplo, la
parcial de z con respecto a u debemos tener en consideración las tres variables intermedias que son
x, y y z entonces esta derivada parcial está dada por
w
w
x
w
y
w
z
u
x
u
y
u
z
u
También podemos obtener está
derivada parcial planteando el
diagrama del árbol y sumando todos
los caminos que van de w a u, como
muestra el dibujo.
Ejercicio de desarrollo.-
a) Sea w f ( x,
y,
z)
una función de tres variables y estas a su vez funciones de u y v. Esto es
x x( u,
v)
y y y( u,
v)
. Establezca la regla de la cadena para este caso.
x
yz
b) Sean w e
x , x( u,
v)
u uv , y( u,
v)
uv v y z( u,
v)
2u
v . Encontrar
w .
v
2
2
w
y
u
APLICACIÓN
Ejemplo 3.- Suponga que la función de costos conjuntos de una empresa que elabora dos tipos de
2 2
paraguas está dada por C q , q ) q 2q
4q
q 700 . Se tiene planeado reducir la producción
( 1 2 1 2 1 2
de los dos tipos de paraguas en los próximos meses de acuerdo a las fórmulas q1 150 3t
y
q2 100 2t , donde t está medido en meses. Exprese la razón de cambio de los costos con respecto
al tiempo.
dC
Solución: La razón de cambio de los costos con respecto al tiempo es . Para determinar
dt
rápidamente esta derivada usamos la regla de la cadena
dC C
dq1
C
dq2
dt q
dt q
dt
1
2