Capítulo 5: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

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Capítulo 5: Funciones de varias variables
6 40
P
401
4
6 (
0.5)
2 2
P 37 2 35 unidades.
Podemos estimar valores de la función en un punto dado cerca de otro para el cual podemos
determinar rápidamente el valor de la función y su derivada. Si sumamos a ambos lados de una
aproximación una cantidad constante, el orden de la aproximación se mantiene. Así en
f ( x,
y)
f ( x0
, y0
) f x ( x0
, y0
) x
f y ( x0
, y0
) y
sumamos en ambos miembros de la aproximación f x 0 , y ) obteniendo
f
( 0
x,
y)
f ( x , y ) f ( x , y ) x
f ( x , y ) y
( 0 0 x 0 0
y 0 0
Interpretación: Observe que se está diciendo que si ( x,
y)
está cerca de ( x 0 , y 0 ) entonces el valor
de f ( x,
y)
es f x 0 , y ) más un error que estimamos por f x , y ) x f ( x , y ) y
( 0
f
x,
y)
f ( x , y )
( 0 0
x ( 0 0
y 0 0
dz
error
1.03
Ejemplo 2.- Estime por medio de diferenciales el valor de .
1.99
Solución: Debemos proponer una función tal que al evaluarla en un punto conveniente x, yde como
resultado este valor numérico y que al evaluarla en puntos cercanos ( x 0 , y 0 ) a este punto conveniente,
sepamos calcular rápidamente el valor de la función y de las derivadas.
Se propone entonces
x
f ( x,
y)
y como valores ( x 0 , y0
) 1,2
y x
, y 1.03,1.99
y
f
x usamos:
x,
y)
f ( x , y ) f ( x , y ) x
f ( x , y ) y
Para estimar en valor de la función en , y 1.03,1.99
( 0 0 x 0 0
y 0 0
1
( , ) ( , ) (0.03)
x0
f x y f x
0 y0
( 0.01)
2
2y
0 x0
y0
1 1 1
f ( x , y ) (0.03) (
0.01)
2
2 4 1 2
1.03 1 0.03 0.01
0.5 0.01 0.51 .
1.99 2 4 4
Observación: Cuando se usa una calculadora para estimar
1.03
1.99
se obtiene 0,50999…
Ejercicio de desarrollo.- a) Estime por medio de diferenciales el valor de 2 .51ln(1.03)
. b) Compare
el resultado con el obtenido en la calculadora.