Capítulo 5: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

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Capítulo 5: Funciones de varias variables
EJERCICIOS 5.3
3 2 / 3
1) La función de producción de cierta empresa está dada por P( L,
K)
30K
1/ L , donde L es el
tamaño de la fuerza laboral medido en horas-trabajador por semana y K es el monto de capital
invertido por semana en UM.
a) Determine las productividades marginales cuando K=1100 y L=4500.
b) Interprete sus resultados.
c) Asuma que una hora de trabajador le cuesta al empresario 1UM. ¿Qué debería hacer el productor
para aumentar la producción
Respuesta 1a) P L 12.505; P k 25.579 b) Interpretación: La producción se incrementa en
aproximadamente 12,5 artículos semanales por cada hora-hombre adicional contratada cuando K se
mantiene fija en 1100 UM. La producción se incrementa en aproximadamente 25,58 artículos
semanales por cada UM adicional de incremento en el monto semanal del capital invertido cuando L
se mantiene fijo en 4500 horas hombre. c) Si el pago de una hora de trabajador es 1 UM, al fabricante
le conviene aumentar el capital para aumentar su productividad .
2) Una función de producción de la forma P( L,
K)
cK , en donde c, a y b son constantes
positivas, es llamada una función de producción Cobb-Douglass si a+b=1. Demuestre que
P
P
P
P
a) P / K
aP / K ; b) L K P ; c) Demuestre que cuando L / K b / a.
L
K
L
K
3) Para cada una de las funciones de costos conjuntos para dos productos dadas abajo, encontrar los
costos marginales en los niveles dados. Interpretar los resultados.
2
3.1) C ( x,
y)
0.1x
2x
3y
200 ; x=20; y=15.
3
3.2) C ( x,
y)
0.01( x y)
0.2( x y)
3( x y)
300 ; x=30; y=35.
3.3) C ( x,
y)
3000 xy 1
; x=45; y=15.
2
C
Respuestas: 3.1)
( 20,15) 6 ;
C
( 20,15) 3 . 3.2) C
x
30,35) 103, 75
x
y
( ; C y ( 30,35) 103, 75
3.3) C x ( 45,15) 865, 38 ; C y( 45,15) 2.596, 2 .
4) Para cada una de las funciones de costos conjuntos de dos productos dadas abajo, encontrar los
costos marginales.
4.1) C ( x,
y)
y x 2 2 ; 4.2) C ( x,
y)
15000
2500 ln( xy 1)
.
Respuesta: 4.1)
c
x
yx
; c x 2 2 ; 4.2)
x
2 2 y
a L b
C
y C
;
x
xy 1 y
x
.
xy 1
5) Para cada uno de los pares de ecuaciones de demanda de dos artículos A y B dados abajo,
determine si son competitivos o complementarios o ninguno de los dos.
2 2
2 2
5.1) q A 125 p A 0.1pB
; qB
130 0.1p
A 2 pB
;
2
2
5.2) q
A
1000 20 pB
; q
B
1500 70 p
A
;
p A 1
pB
2
1/
2
1/
3
1/
2 3/
2
1/
2 1/
2
5.3) q
A
50 pB
p
A
; q
B
30 p
A
pB
; 5.4) q A 250 p A pB
; q B 300 p A pB
;
2 pB
2 p
A
5.5) q A ; q
p
2 B .
1 p
2 2
A
B
Respuestas: 5.1) complementarios; 5.2) Ninguna de las dos 5.3) competitivo; 5.4) Complementarios;
5.5) Competitivo.