Capítulo 5: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

14
Capítulo 5: Funciones de varias variables
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LAS DERIVADAS
PARCIALES
Suponga tenemos la función z f ( x,
y)
, esta función tiene como representación gráfica una
3
superficie en R . Cuando fijamos y y0
entonces z f ( x,
y0
) es función de x y está representada
geométricamente por la curva que se obtiene de intersectar el plano y y0
con las superficie
z f ( x,
y)
. En esta curva z f ( x,
y0
) se puede calcular la recta tangente en cualquier
punto ( x 0 , y0
, z0
) que satisfaga z0 f ( x0
, y0
) . La pendiente está dada por la derivada de la función
z f ( x,
y0
) con respecto a su variable x evaluada en x x0
. Ésta es la derivada de la función f en la
dirección x que no es otra cosa que la derivada parcial de f con respecto a x, véase la figura de la
izquierda. La figura de la derecha ayuda a interpretar la derivada parcial de f con respecto a y de
manera análoga a como se expuso con la derivada con respecto a x.
EJERCICIOS 5.2
1) Para cada una de las siguientes funciones, calcule todas las derivadas parciales de primer orden.
2
2
1.1) z x x y , f y ( a,
b)
;
2
1.2) z x
3ln y 4 ;
2 2
x 2
1.3) f ( x,
y)
2x
x y xy ; 1.4) z 2xy ;
y
xy
1.5) z xye ; 1.6) g( x,
y)
4 2
x y , f y ( a,
b)
;
y
x
1.7) z ; 1.8) h( x,
y)
3
y (1 x)
; 1.9) f ( x,
y)
x
x / y
1
e
;
x
1.10) z ln( x e y)
;
x3y
1.11) z e (2 y)
; 1.12) z xy
2 2
x y ;
2
1.13) z x
3ln y 4 ;
2 2
1.14) f ( x,
y,
z)
2xz
x y xy ;
u 1 2
xyz
1.15) f ( u,
v,
w)
2u
w ; 1.16) f ( x,
y,
z)
xye ; 1.17)
xyz
2
f ( x,
y,
x)
1 .
uv
xyz