CapÃtulo 5: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

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46 Capítulo 5: Funciones de varias variables perturbados por fenómenos aleatorios. El planteamiento en todo caso es que dados los datos ( x 1, y1) , ( x 2 , y 2 ) , ( x n , y n ) queremos conseguir la recta y ax ˆ bˆ que mejor se ajuste a ellos. No vamos a conseguir la recta y ax b sino vamos a proponer una estimación de ella : y ax ˆ bˆ . Es difícil precisar que quiere decir la que mejor se ajusta, pero un criterio para conseguir una buena recta es la que minimiza la suma de las distancias verticales al cuadrado. Más precisamente: la distancia vertical del i-ésimo dato a la recta está dado por y ( ax b) . i i Así que para conseguir la mejor recta, debemos calcular a y b que minimizan n S( a, b) ( y ( ax b)) . i1 i i 2 Observe que S es una función de a y b. Podemos conseguir una fórmula general para la pendiente y para la ordenada en el origen. Pero preferimos dejar planteado el sistema para conseguir los puntos críticos: S S a b ( a, b) 0 ( a, b) 0 Para las dos derivadas vamos a tener una suma n i1 n i1 2( y i 2( y i ax i ax i b) x 0 b) 1 0 n 2 ( yi xi axi bxi ) 0 i1 n n n yi axi b 0 i1 i1 i1 i Se puede sacar factor común -2 en la primera ecuación y luego este factor pasa dividiendo. En la segunda ecuación se multiplica ambos miembro por -1. En la primera ecuación se distribuyó i x . En la segunda ecuación separamos la sumatoria.
5.8 Máximos y mínimos en varias variables 47 n n n 2 yi xi a xi bxi 0 i1 i1 i1 n n n yi axi b 0 i1 i1 i1 Se separó la sumatoria y se sacaron los factores constantes fuera de la sumatoria n i1 n y x a i n i i1 i1 i y a Si llamamos n i1 i x 2 i b n i1 x bn 0 ecuaciones queda planteado como: xi 0 . S xy xi yi ; x S xi ; 2 xx x i S y S y yi , el último sistema de S S xy y aS aS aS aS xx x x xx bS bn S bS x bn 0 x S y xy 0 Llamamos â y bˆ las soluciones del sistema anterior, ellas estiman la pendiente y la ordenada en el origen de la recta y ax b . Esto es conocido como una regresión de y sobre x. Veamos primero el procedimiento a través de los datos dados por el siguiente ejemplo. Ejemplo 11.- Suponga que un producto tiene una ecuación de demanda lineal con respecto al precio q ap b . Se tiene los siguientes datos sobre su comportamiento en el mercado q 12 10 8 9 p 30 33 41 37 Estime la ecuación de demanda usando el criterio de mínimos cuadrados, esto es, haga una regresión de q sobre p. Solución: Planteamos la ecuación de demanda como una relación lineal, esto es una recta. q ap b Debemos conseguir a y b que minimizan S 4 i1 ( q i ( ap i b)) 2 Sustituimos nuestros datos 2 2 2 S ( 12 ( a 30 b)) (10 ( a 33 b)) (8 ( a 41 b)) (9 ( a 37 b)) Vamos ahora a buscar los puntos críticos de S S S a b ( a, b) 0 ( a, b) 0 2
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