Capítulo 5: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

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Capítulo 5: Funciones de varias variables
Finalmente concluimos que la caja con mínima área tiene dimensiones 3 500 tanto en su largo
3
250 500
como en su ancho y la altura está dada por z .
3
500 2
Ejemplo 9.- Una empresa produce dos tipos de artículos A y B. El costo de fabricar un artículo de tipo
A es de 4 UM y el costo de B es de 6UM Las ecuaciones de demanda están dadas por:
q A 10 2 p
A
pB
; qB
9 p
A
pB
expresada en cientos de unidades.
¿Cuáles serán los precios de venta que maximizan la utilidad
Solución:
Debemos obtener la función de utilidad conjunta. Ella puede ser obtenida por la relación
U U A U B
Para calcular U A planteamos
U A I A C A
U A p Aq
A 4q
A
U p 10 2 p p ) 4(10 2 p p )
A
A ( A B
A B
U A 2 p
2 A pB
p A 40 18p
A 4 p
Similarmente obtenemos
U p 9 p p ) 6(9 p p
B
B ( A B
A B
2
pB
pB
p A 54 6 p A pB
U B
15
De aquí
U
2
( 2
p p p 40 18p
4 p
U
2
p
A
2
A
p
2
B
A
B
2 p
A
p
B
A
12 p
A
B
B
)
11p
) ( p
B
94
2
B
p
B
p
A
54 6 p
Ahora vamos a conseguir los puntos críticos
U
( p A , pB
)
0
p
A
U
( p A , pB
0
p
B
4 p A 2 pB
12 0
2 pB
2 p A 11 0
Si sumamos ambas ecuaciones se tiene
p A 23/ 2
p B 17
Tenemos entonces un único punto crítico, pasamos a clasificarlo:
2
2
2
U ( p A , pB
) U ( p A,
pB
) U ( p A , pB
)
4
; 2 y 2
2
2
p
p
A
A pB
p
B
Calculamos
2
U ( p A , pB
) U ( p A , p
D ( x,
y)
2
2
p
A p
B
D ( p , ) 4
( 2)
( 2)
2 A p B
4
2
B
2
) U ( p ,
A p
p
Ap
B
B
)
2
A
15p
B
)