CapÃtulo 5: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

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16 Capítulo 5: Funciones de varias variables 5.3 Aplicaciones a la economía COSTO MARGINAL Suponga que una industria fábrica dos tipos de artículos. Sea C q 1 , q ) la función de costos conjuntos. Se define C q 1 ( 2 como el costo marginal con respecto a q 1 y se interpreta como la razón de cambio de C con respecto a q 1 cuando q2 permanece fija. Normalmente se usa para aproximar el cambio en los costos cuando la producción aumenta una unidad en q 1 y q2 no aumenta (permanece C constante). Una definición e interpretación similar tiene . Recuerde, de la definición de derivada q 2 parcial que C C( q1 h, q2 ) C( q1, q2 ) , para h pequeño q1 h y si h=1, tenemos que Cambio en los costos cuando la C C( q1 1, q2 ) C( q1, q2 ) C( q1 1, q2 ) C( q1, q2 ) = producción aumenta una unidad q1 1 en q 1 y q2 permanece constante. Pero el cambio en el costo es debido a que se produce una unidad adicional de tipo I. Es por C eso que también podemos decir que el costo marginal es el costo de la unidad adicional si se q 1 decide aumentar la producción del primer tipo en una unidad. Ejemplo 1.- Una compañía elabora dos tipos de celulares, el básico y el sofisticado. La función de costos conjuntos está dada por 2 2 C ( x, y) 0.1x 0.5y 4xy 2000 donde x es el número de celulares básicos y y el número de celulares sofisticados a producir. a) Encuentre los costos marginales cuando se producen 500 celulares del tipo básico y 100 del otro tipo. b) Interprete sus resultados Solución: a) Primero calculamos las funciones de costo marginal C x ( x, y) 0.2x 4y C y ( x, y) y 4x Evaluamos los costos marginales en (500,100) ( 500,100) 100 400 500 C x C y ( 500,100) 100 2000 2100 b) Interpretación: Con un nivel de producción de 500 celulares de tipo básico y 100 del sofisticado, el costo total aumentará 500 UM si la producción del tipo básico aumenta en una unidad y la del tipo sofisticado permanece constante. Por otro lado el costo total aumentará 2100 UM si la producción del celular tipo sofisticado aumenta en una unidad y la del tipo básico permanece constante. Ejercicio de desarrollo.- Si la función de costos conjunto de una fábrica que elabora dos productos X 2 y Y está dada por C ( x, y) y 40xy 5x 400 , donde x el número de artículos de tipo X y y el número de artículos tipo Y. a) Encuentre el costo marginal con respecto a y si se producen 4 artículos de tipo X y 7 de tipo Y. b) Interprete sus resultados. .
5.3 Aplicaciones a la economía 17 PRODUCTIVIDAD MARGINAL El nivel de producción de un producto depende de muchos factores, mano de obra, maquinaria, capital, capacidad de almacenamiento, etc. Llamaremos función de producción, P, a la cantidad de artículos que se producen. En esta sección supondremos que depende sólo del capital invertido, K, y de la cantidad de mano de obra empleada L. Así que en general escribiremos P P( K, L) . P Llamaremos la función de productividad marginal con respecto a K y se interpreta como K el cambio aproximado en la producción cuando la unidad de capital se incrementa en una unidad y el nivel de mano de obra se mantiene fija. P Similarmente, es la función de productividad marginal con respecto a L y se interpreta L como el cambio aproximado en la producción cuando se incrementa en una unidad la mano de obra contratada y el nivel de inversión de capital se mantiene fija. Ejemplo 2.- La función de producción de un producto elaborado por cierta empresa está dada 0.4 0.6 por P( K, L) 10K L unidades, donde L es el tamaño de la fuerza laboral medido en horastrabajador por semana y K es el monto de capital invertido por semana en UM. a) Determine las productividades marginales cuando K=100 y L=500. b) Interprete sus resultados. Solución: a) Calculemos primero las derivadas parciales P 0.4 0.6 0.6 0. 10K L 10 0.4 K L 6 K K P L 4 K K 0.6 P 0.4 0.6 0.4 0. 4 10K L L L 0.4 10 0.6 K P K 6 L L Al evaluar las derivadas parciales obtenemos: 0.6 P 500 0.6 4 4 5 10.5 y K 100 P L 0.4 100 0.4 6 6 (0.2) 3.15 500 L b) Interpretación: Si se ha estado contratando 500 horas-hombres, la producción se incrementa en aproximadamente 3.15 unidades semanales por cada hora-hombre adicional contratada cuando K se mantiene fija en 100 UM. La producción se incrementa en aproximadamente 10.5 unidades semanales por cada UM adicional de incremento en el monto semanal del capital invertido cuando L se mantiene fijo en 500 horas hombre y el capital era de 100UM. Ejercicio de desarrollo.- La función de producción de un artículo está dado por determine la productividad marginal con respecto a K. KL P( K, L) K L
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