Cuestiones de´Algebra Lineal

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a) Verdadero pues como v 1 +v 2 +v 3 = 2v 1 +3v 3 , entonces v 1 −v 2 +2v 3 = 0, de donde se deduce que {v 1 , v 2 , v 3 } es l.d.. Luego cualquier base de W tiene menos de tres vectores. b) Verdadero pues si fuese dim(W ) = 3, entonces el conjunto {v 1 , v 2 , v 3 } es base de W y todo vector de W se expresa de forma única como combinación lineal de v 1 , v 2 y v 3 . c) Falso pues por ser W un subespacio vectorial generado por tres vectores, su dimensión es 3. 12
Aplicaciones lineales 84. Averiguar si es cierto o falso que si f es una aplicación de R 3 en R 3 tal que f(x = 3x, entonces f es lineal. 85. Si f es un endomorfismo de E y dim(Im(f)) = dim(Nuc(f), entonces dim(E) es un número par. 86. Toda aplicación lineal f transforma el cero del espacio inicial en el cero del espacio imagen, es decir, f(0) = 0. Toda aplicación lineal transforma conjuntos l.i. en conjuntos l.i.. 87. La aplicación f de R 3 en R 2 definida por f(x, y, z) = (|x|, y − z) es lineal. La aplicación g de R 3 en R 2 definida por g(x, y, z) = (0, z) es lineal. 88. Averiguar si es cierto o falso que si f es una aplicación lineal de R 2 en R 3 , entonces Im(f) es un subespacio de R 3 de dimensión menor o igual que 2. 89. Averiguar si es cierto o falso que si f es una aplicación lineal de R n en R m tal que Nuc(f)={0}, entonces m ≥ n. 90. Si f es una aplicación lineal, conserva sumas y productos por escalares. 91. Si f es una aplicación lineal, f es inyectiva si y sólo si Nuc(f) = 0. 92. Si f es una aplicación lineal, dim(Nuc(f)) + dim(Im(f)) = dim(E), siendo E el espacio final. 93. Si f es una aplicación lineal, tal que Nuc(f) ≠ 0, existen vectores x e y distintos tales que f(x) = f(y). 94. Averiguar si es cierto o falso que si f es una aplicación de R n en R m y {x 1 , . . . , x n } es un conjunto l.i., entonces {f(x 1 ), . . . , f(x n )} es un conjunto l.i. cuando m ≥ n y l.d. cuando m < n. 13
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Page 61 and 62: ) A es una matriz diagonal, c) como

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